Integral de x^5/(x^2-4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2}}{2 u - 8}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2}}{2 u - 8} = \frac{u}{2} + 2 + \frac{8}{u - 4}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{8}{u - 4}\, du = 8 \int \frac{1}{u - 4}\, du$

            1. que $u = u - 4$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(u - 4 \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + 2 u + 8 \log{\left(u - 4 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} + 2 x^{2} + 8 \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5}}{x^{2} - 4} = x^{3} + 4 x + \frac{8}{x + 2} + \frac{8}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x + 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x - 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + 2 x^{2} + 8 \log{\left(x - 2 \right)} + 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} + 2 x^{2} + 8 \log{\left(x^{2} - 4 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} + 2 x^{2} + 8 \log{\left(x^{2} - 4 \right)}+ \mathrm{constant}$