Integral de (x^2-8/3*x-2/9)*(x-2/3)*e^(x*(-3)/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\frac{\left(-3\right) x}{2}} \left(x - \frac{2}{3}\right) \left(\left(x^{2} - \frac{8 x}{3}\right) - \frac{2}{9}\right) = \frac{\left(27 x^{3} - 90 x^{2} + 42 x + 4\right) e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(27 x^{3} - 90 x^{2} + 42 x + 4\right) e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}\, dx = \frac{\int \left(27 x^{3} - 90 x^{2} + 42 x + 4\right) e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx}{27}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 27 x^{3} - 90 x^{2} + 42 x + 4$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 81 x^{2} - 180 x + 42$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - 54 x^{2} + 120 x - 28$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120 - 108 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 72 x - 80$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 72$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 48 e^{- \frac{3 x}{2}}\right)\, dx = - 48 \int e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx$

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32 e^{- \frac{3 x}{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(72 x - 80\right) e^{- \frac{3 x}{2}}}{81} + \frac{2 \left(- 54 x^{2} + 120 x - 28\right) e^{- \frac{3 x}{2}}}{81} - \frac{2 \left(27 x^{3} - 90 x^{2} + 42 x + 4\right) e^{- \frac{3 x}{2}}}{81} - \frac{32 e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\frac{\left(-3\right) x}{2}} \left(x - \frac{2}{3}\right) \left(\left(x^{2} - \frac{8 x}{3}\right) - \frac{2}{9}\right) = x^{3} e^{- \frac{3 x}{2}} - \frac{10 x^{2} e^{- \frac{3 x}{2}}}{3} + \frac{14 x e^{- \frac{3 x}{2}}}{9} + \frac{4 e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - 2 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 4 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \frac{8 x}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{8}{3}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{16 e^{- \frac{3 x}{2}}}{9}\right)\, dx = - \frac{16 \int e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx}{9}$

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{10 x^{2} e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}\right)\, dx = - \frac{10 \int x^{2} e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx}{3}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

               Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - \frac{4 x}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{4}{3}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

               Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{8 e^{- \frac{3 x}{2}}}{9}\, dx = \frac{8 \int e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx}{9}$

            1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

               Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 x^{2} e^{- \frac{3 x}{2}}}{9} + \frac{80 x e^{- \frac{3 x}{2}}}{27} + \frac{160 e^{- \frac{3 x}{2}}}{81}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{14 x e^{- \frac{3 x}{2}}}{9}\, dx = \frac{14 \int x e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx}{9}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

               Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}\right)\, dx = - \frac{2 \int e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx}{3}$

            1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

               Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{- \frac{3 x}{2}}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{28 x e^{- \frac{3 x}{2}}}{27} - \frac{56 e^{- \frac{3 x}{2}}}{81}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}\, dx = \frac{4 \int e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx}{27}$

         1. que $u = - \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 e^{- \frac{3 x}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 e^{- \frac{3 x}{2}}}{81}$

      El resultado es: $- \frac{2 x^{3} e^{- \frac{3 x}{2}}}{3} + \frac{8 x^{2} e^{- \frac{3 x}{2}}}{9} + \frac{4 x e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 x \left(- 9 x^{2} + 12 x + 2\right) e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x \left(- 9 x^{2} + 12 x + 2\right) e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x \left(- 9 x^{2} + 12 x + 2\right) e^{- \frac{3 x}{2}}}{27}+ \mathrm{constant}$