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Resolución de integrales/ x/(x^6-1)/ x^5dx/ x^5dx/(x^6-1)

Integral de x^5dx/(x^6-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |     5     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   6       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0
∫01x5x6−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{5}}{x^{6} - 1}\, dx 
Integral(x^5/(x^6 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x6−1u = x^{6} - 1.

      Luego que du=6x5dxdu = 6 x^{5} dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

      ∫16u du\int \frac{1}{6 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1u du=∫1u du6\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)6\frac{\log{\left(u \right)}}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x6−1)6\frac{\log{\left(x^{6} - 1 \right)}}{6}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x5x6−1=2x−16(x2−x+1)+2x+16(x2+x+1)+16(x+1)+16(x−1)\frac{x^{5}}{x^{6} - 1} = \frac{2 x - 1}{6 \left(x^{2} - x + 1\right)} + \frac{2 x + 1}{6 \left(x^{2} + x + 1\right)} + \frac{1}{6 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{6 \left(x - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x−16(x2−x+1) dx=∫2x−1x2−x+1 dx6\int \frac{2 x - 1}{6 \left(x^{2} - x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1}\, dx}{6}

        1. que u=x2−x+1u = x^{2} - x + 1.

          Luego que du=(2x−1)dxdu = \left(2 x - 1\right) dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2−x+1)\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2−x+1)6\frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x+16(x2+x+1) dx=∫2x+1x2+x+1 dx6\int \frac{2 x + 1}{6 \left(x^{2} + x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}\, dx}{6}

        1. que u=x2+x+1u = x^{2} + x + 1.

          Luego que du=(2x+1)dxdu = \left(2 x + 1\right) dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2+x+1)\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+x+1)6\frac{\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫16(x+1) dx=∫1x+1 dx6\int \frac{1}{6 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{6}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)6\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫16(x−1) dx=∫1x−1 dx6\int \frac{1}{6 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{6}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)6\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{6}

      El resultado es: log⁡(x−1)6+log⁡(x+1)6+log⁡(x2−x+1)6+log⁡(x2+x+1)6\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{6} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}{6}

  2. Ahora simplificar:

    log⁡(x6−1)6\frac{\log{\left(x^{6} - 1 \right)}}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x6−1)6+constant\frac{\log{\left(x^{6} - 1 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x6−1)6+constant\frac{\log{\left(x^{6} - 1 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                           
 |                            
 |    5               / 6    \
 |   x             log\x  - 1/
 | ------ dx = C + -----------
 |  6                   6     
 | x  - 1                     
 |                            
/
∫x5x6−1 dx=C+log⁡(x6−1)6\int \frac{x^{5}}{x^{6} - 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{6} - 1 \right)}}{6}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-20001000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      pi*I
-oo - ----
       6
−∞−iπ6-\infty - \frac{i \pi}{6} 
=
= 
      pi*I
-oo - ----
       6
−∞−iπ6-\infty - \frac{i \pi}{6} 
-oo - pi*i/6
Respuesta numérica [src] 
-7.04986621949774
-7.04986621949774

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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