Integral de 1/x(√x-1/x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u - \sqrt{\frac{1}{u}} - 1}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{\frac{3}{2}} + u - 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{\frac{3}{2}} + u - 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{u}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            El resultado es: $2 \sqrt{u} + \log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u + 2 \sqrt{\frac{1}{u}} - \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right) + 1}{x} = \frac{x^{\frac{3}{2}} + x - 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{\frac{3}{2}} + x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right) + 1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$