Integral de (6x+7)*(3x+4)^(-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 6 x$.

      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 7}{3 u + 24}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u + 7}{3 u + 24} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(u + 8\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{3 \left(u + 8\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 8}\, du}{3}$

            1. que $u = u + 8$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 8 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 8 \right)}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u + 8 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x - \frac{\log{\left(6 x + 8 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{6 x + 7}{3 x + 4} = 2 - \frac{1}{3 x + 4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{3 x + 4}\right)\, dx = - \int \frac{1}{3 x + 4}\, dx$

         1. que $u = 3 x + 4$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$

      El resultado es: $2 x - \frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{6 x + 7}{3 x + 4} = \frac{6 x}{3 x + 4} + \frac{7}{3 x + 4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6 x}{3 x + 4}\, dx = 6 \int \frac{x}{3 x + 4}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{3 x + 4} = \frac{1}{3} - \frac{4}{3 \left(3 x + 4\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{4}{3 \left(3 x + 4\right)}\right)\, dx = - \frac{4 \int \frac{1}{3 x + 4}\, dx}{3}$

               1. que $u = 3 x + 4$.

                  Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{3 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{9}$

            El resultado es: $\frac{x}{3} - \frac{4 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x - \frac{8 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{7}{3 x + 4}\, dx = 7 \int \frac{1}{3 x + 4}\, dx$

         1. que $u = 3 x + 4$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$

      El resultado es: $2 x + \frac{7 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{3} - \frac{8 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x - \frac{\log{\left(6 x + 8 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x - \frac{\log{\left(6 x + 8 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$