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Resolución de integrales/ ln|x|/ 2*ln|x|

Integral de 2*ln|x| dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |  2*log(|x|) dx
 |               
/                
0
∫012log⁡(∣x∣) dx\int\limits_{0}^{1} 2 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\, dx 
Integral(2*log(|x|), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2log⁡(∣x∣) dx=2∫log⁡(∣x∣) dx\int 2 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\, dx

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(∣x∣)u{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du⁡(x)=(re⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)ddxim⁡(x))sign⁡(x)x∣x∣\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x \left|{x}\right|}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (re⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)ddxim⁡(x))sign⁡(x)∣x∣=re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣\frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣=re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣+im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣\frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}

      3. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

        El resultado es: ∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx+∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx + \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (re⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)ddxim⁡(x))sign⁡(x)∣x∣=re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣+im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣\frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}

      2. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

        El resultado es: ∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx+∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx + \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

    Por lo tanto, el resultado es: 2xlog⁡(∣x∣)−2∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx−2∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx2 x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx - 2 \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

  2. Añadimos la constante de integración:

    2xlog⁡(∣x∣)−2∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx−2∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx+constant2 x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx - 2 \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2xlog⁡(∣x∣)−2∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx−2∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx+constant2 x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx - 2 \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                           /                                 /                                         
                          |                                 |                                          
                          | d                               | d                                        
  /                       | --(im(x))*im(x)*sign(x)         | --(re(x))*re(x)*sign(x)                  
 |                        | dx                              | dx                                       
 | 2*log(|x|) dx = C - 2* | ----------------------- dx - 2* | ----------------------- dx + 2*x*log(|x|)
 |                        |           |x|                   |           |x|                            
/                         |                                 |                                          
                         /                                 /
∫2log⁡(∣x∣) dx=C+2xlog⁡(∣x∣)−2∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx−2∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int 2 \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\, dx = C + 2 x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - 2 \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx - 2 \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
-2
−2-2 
=
= 
-2
−2-2 
-2
Respuesta numérica [src] 
-2.0
-2.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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