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Resolución de integrales/ ln|x|

Integral de ln|x| dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |  log(|x|) dx
 |             
/              
-1
∫−11log⁡(∣x∣) dx\int\limits_{-1}^{1} \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\, dx 
Integral(log(|x|), (x, -1, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(∣x∣)u{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=(re⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)ddxim⁡(x))sign⁡(x)x∣x∣\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x \left|{x}\right|}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (re⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)ddxim⁡(x))sign⁡(x)∣x∣=re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣\frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣=re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣+im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣\frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}

    3. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

      El resultado es: ∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx+∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx + \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (re⁡(x)ddxre⁡(x)+im⁡(x)ddxim⁡(x))sign⁡(x)∣x∣=re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣+im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣\frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}

    2. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

      El resultado es: ∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx+∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx + \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx

  3. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(∣x∣)−∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx−∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx+constantx \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx - \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(∣x∣)−∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx−∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx+constantx \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx - \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                       /                               /                                       
                      |                               |                                        
                      | d                             | d                                      
  /                   | --(im(x))*im(x)*sign(x)       | --(re(x))*re(x)*sign(x)                
 |                    | dx                            | dx                                     
 | log(|x|) dx = C -  | ----------------------- dx -  | ----------------------- dx + x*log(|x|)
 |                    |           |x|                 |           |x|                          
/                     |                               |                                        
                     /                               /
∫log⁡(∣x∣) dx=C+xlog⁡(∣x∣)−∫re⁡(x)sign⁡(x)ddxre⁡(x)∣x∣ dx−∫im⁡(x)sign⁡(x)ddxim⁡(x)∣x∣ dx\int \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\, dx = C + x \log{\left(\left|{x}\right| \right)} - \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx - \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right|}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
-2
−2-2 
=
= 
-2
−2-2 
-2
Respuesta numérica [src] 
-inf
-inf

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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