Integral de sin⁴(7x) dx

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi            
   /             
  |              
  |     4        
  |  sin (7*x) dx
  |              
 /               
 0

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} \sin^{4}{\left(7 x \right)}\, dx$$

Integral(sin(7*x)^4, (x, 0, 2*pi))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{4}{\left(7 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\right)^{2}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(14 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(14 x \right)} = \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(28 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 28 x$ .
      
      Luego que $du = 28 dx$ y ponemos $\frac{du}{28}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{28}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{28}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{28}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{28}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(14 x \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = 14 x$ .
      
      Luego que $du = 14 dx$ y ponemos $\frac{du}{14}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{14}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{14}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{14}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{14}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  El resultado es: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(14 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(14 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(14 x \right)} = \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(28 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(28 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 28 x$ .
      
      Luego que $du = 28 dx$ y ponemos $\frac{du}{28}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{28}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{28}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{28}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{28}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{56}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(14 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(14 x \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = 14 x$ .
      
      Luego que $du = 14 dx$ y ponemos $\frac{du}{14}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{14}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{14}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{14}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(14 x \right)}}{14}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  El resultado es: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                              
 |                                               
 |    4               sin(14*x)   sin(28*x)   3*x
 | sin (7*x) dx = C - --------- + --------- + ---
 |                        28         224       8 
/

$$\int \sin^{4}{\left(7 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

3*pi
----
 4

$$\frac{3 \pi}{4}$$

3*pi
----
 4

$$\frac{3 \pi}{4}$$

3*pi/4

Respuesta numérica [src]

2.35619449019234

2.35619449019234

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de sin⁴(7x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2