Integral de 6/((x+1)^(1/2)*(x+2)^(3/2)) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{6}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx = 6 \int \frac{1}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 2}}$

      2. que $u = \sqrt{x + 1}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2}{\left(u^{2} - 1\right) \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\left(u^{2} - 1\right) \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du = 2 \int \frac{1}{\left(u^{2} - 1\right) \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{\left(u^{2} - 1\right) \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}} = \frac{1}{u^{2} \sqrt{u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} + 1}}$

               TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=cos(_theta), substep=TrigRule(func='cos', arg=_theta, context=cos(_theta), symbol=_theta), restriction=True, context=1/(_u**2*sqrt(_u**2 + 1) + sqrt(_u**2 + 1)), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{\sqrt{u^{2} + 1}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 2}}$

      2. que $u = \sqrt{x + 1}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2}{\left(u^{2} - 1\right) \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\left(u^{2} - 1\right) \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du = 2 \int \frac{1}{\left(u^{2} - 1\right) \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{\left(u^{2} - 1\right) \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}} = \frac{1}{u^{2} \sqrt{u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} + 1}}$

               TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=cos(_theta), substep=TrigRule(func='cos', arg=_theta, context=cos(_theta), symbol=_theta), restriction=True, context=1/(_u**2*sqrt(_u**2 + 1) + sqrt(_u**2 + 1)), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{\sqrt{u^{2} + 1}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{12 \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{12 \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2}}+ \mathrm{constant}$