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Resolución de integrales/ 2*x-1/ 2*x+2/ (2*x-1)*sin(-2*x+2)

Integral de (2*x-1)*sin(-2*x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |  (2*x - 1)*sin(-2*x + 2) dx
 |                            
/                             
0
∫01(2x−1)sin⁡(2−2x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 1\right) \sin{\left(2 - 2 x \right)}\, dx 
Integral((2*x - 1)*sin(-2*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(−usin⁡(u−2)2+sin⁡(u−2)2) du\int \left(- \frac{u \sin{\left(u - 2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(u - 2 \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−usin⁡(u−2)2) du=−∫usin⁡(u−2) du2\int \left(- \frac{u \sin{\left(u - 2 \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u \sin{\left(u - 2 \right)}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u−2)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u - 2 \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u−2u = u - 2.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(u−2)- \cos{\left(u - 2 \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(u−2)) du=−∫cos⁡(u−2) du\int \left(- \cos{\left(u - 2 \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u - 2 \right)}\, du

            1. que u=u−2u = u - 2.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(u−2)\sin{\left(u - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u−2)- \sin{\left(u - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: ucos⁡(u−2)2−sin⁡(u−2)2\frac{u \cos{\left(u - 2 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(u - 2 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u−2)2 du=∫sin⁡(u−2) du2\int \frac{\sin{\left(u - 2 \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u - 2 \right)}\, du}{2}

          1. que u=u−2u = u - 2.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(u−2)- \cos{\left(u - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u−2)2- \frac{\cos{\left(u - 2 \right)}}{2}

        El resultado es: ucos⁡(u−2)2−sin⁡(u−2)2−cos⁡(u−2)2\frac{u \cos{\left(u - 2 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(u - 2 \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(u - 2 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xcos⁡(2x−2)−sin⁡(2x−2)2−cos⁡(2x−2)2x \cos{\left(2 x - 2 \right)} - \frac{\sin{\left(2 x - 2 \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x - 2 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−1)sin⁡(2−2x)=−2xsin⁡(2x−2)+sin⁡(2x−2)\left(2 x - 1\right) \sin{\left(2 - 2 x \right)} = - 2 x \sin{\left(2 x - 2 \right)} + \sin{\left(2 x - 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xsin⁡(2x−2)) dx=−2∫xsin⁡(2x−2) dx\int \left(- 2 x \sin{\left(2 x - 2 \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \sin{\left(2 x - 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x−2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - 2 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2x−2u = 2 x - 2.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x−2)2- \frac{\cos{\left(2 x - 2 \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x−2)2) dx=−∫cos⁡(2x−2) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x - 2 \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x - 2 \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2x−2u = 2 x - 2.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x−2)2\frac{\sin{\left(2 x - 2 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x−2)4- \frac{\sin{\left(2 x - 2 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(2x−2)−sin⁡(2x−2)2x \cos{\left(2 x - 2 \right)} - \frac{\sin{\left(2 x - 2 \right)}}{2}

      1. que u=2x−2u = 2 x - 2.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x−2)2- \frac{\cos{\left(2 x - 2 \right)}}{2}

      El resultado es: xcos⁡(2x−2)−sin⁡(2x−2)2−cos⁡(2x−2)2x \cos{\left(2 x - 2 \right)} - \frac{\sin{\left(2 x - 2 \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x - 2 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xcos⁡(2x−2)−sin⁡(2x−2)2−cos⁡(2x−2)2+constantx \cos{\left(2 x - 2 \right)} - \frac{\sin{\left(2 x - 2 \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xcos⁡(2x−2)−sin⁡(2x−2)2−cos⁡(2x−2)2+constantx \cos{\left(2 x - 2 \right)} - \frac{\sin{\left(2 x - 2 \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                
 |                                  cos(-2 + 2*x)   sin(-2 + 2*x)                  
 | (2*x - 1)*sin(-2*x + 2) dx = C - ------------- - ------------- + x*cos(-2 + 2*x)
 |                                        2               2                        
/
∫(2x−1)sin⁡(2−2x) dx=C+xcos⁡(2x−2)−sin⁡(2x−2)2−cos⁡(2x−2)2\int \left(2 x - 1\right) \sin{\left(2 - 2 x \right)}\, dx = C + x \cos{\left(2 x - 2 \right)} - \frac{\sin{\left(2 x - 2 \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x - 2 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   cos(2)   sin(2)
- + ------ - ------
2     2        2
−sin⁡(2)2+cos⁡(2)2+12- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{1}{2} 
=
= 
1   cos(2)   sin(2)
- + ------ - ------
2     2        2
−sin⁡(2)2+cos⁡(2)2+12- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{1}{2} 
1/2 + cos(2)/2 - sin(2)/2
Respuesta numérica [src] 
-0.162722131686412
-0.162722131686412

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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