Integral de 3*sin(x)-4cos(4x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 4 x$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(4 x \right)}$

   El resultado es: $- \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \sin{\left(4 x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$