Integral de (0.5*x^2+2*x)^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(\frac{x^{2}}{2} + 2 x\right)^{2} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{4}}{4}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{20}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

   El resultado es: $\frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(3 x^{2} + 30 x + 80\right)}{60}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(3 x^{2} + 30 x + 80\right)}{60}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(3 x^{2} + 30 x + 80\right)}{60}+ \mathrm{constant}$