Integral de 2*(x+1/10)*((x+1/10)^2*(-a)/2-b*(x+1/10)^2/2+c*x)/3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 \left(x + \frac{1}{10}\right) \left(c x + \left(\frac{- a \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2} - \frac{b \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2}\right)\right)}{3}\, dx = \frac{\int 2 \left(x + \frac{1}{10}\right) \left(c x + \left(\frac{- a \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2} - \frac{b \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2}\right)\right)\, dx}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \left(x + \frac{1}{10}\right) \left(c x + \left(\frac{- a \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2} - \frac{b \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2}\right)\right)\, dx = 2 \int \left(x + \frac{1}{10}\right) \left(c x + \left(\frac{- a \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2} - \frac{b \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2}\right)\right)\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + \frac{1}{10}\right) \left(c x + \left(\frac{- a \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2} - \frac{b \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2}\right)\right) = - \frac{a}{2000} - \frac{b}{2000} - x^{3} \left(\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right) - x^{2} \left(\frac{3 a}{20} + \frac{3 b}{20} - c\right) - x \left(\frac{3 a}{200} + \frac{3 b}{200} - \frac{c}{10}\right)$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{a}{2000}\right)\, dx = - \frac{a x}{2000}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{b}{2000}\right)\, dx = - \frac{b x}{2000}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- x^{3} \left(\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right)\right)\, dx = \left(- \frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right) \int x^{3}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \left(- \frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right)}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- x^{2} \left(\frac{3 a}{20} + \frac{3 b}{20} - c\right)\right)\, dx = \left(- \frac{3 a}{20} - \frac{3 b}{20} + c\right) \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3} \left(- \frac{3 a}{20} - \frac{3 b}{20} + c\right)}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- x \left(\frac{3 a}{200} + \frac{3 b}{200} - \frac{c}{10}\right)\right)\, dx = \left(- \frac{3 a}{200} - \frac{3 b}{200} + \frac{c}{10}\right) \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \left(- \frac{3 a}{200} - \frac{3 b}{200} + \frac{c}{10}\right)}{2}$

            El resultado es: $- \frac{a x}{2000} - \frac{b x}{2000} + \frac{x^{4} \left(- \frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right)}{4} + \frac{x^{3} \left(- \frac{3 a}{20} - \frac{3 b}{20} + c\right)}{3} + \frac{x^{2} \left(- \frac{3 a}{200} - \frac{3 b}{200} + \frac{c}{10}\right)}{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + \frac{1}{10}\right) \left(c x + \left(\frac{- a \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2} - \frac{b \left(x + \frac{1}{10}\right)^{2}}{2}\right)\right) = - \frac{a x^{3}}{2} - \frac{3 a x^{2}}{20} - \frac{3 a x}{200} - \frac{a}{2000} - \frac{b x^{3}}{2} - \frac{3 b x^{2}}{20} - \frac{3 b x}{200} - \frac{b}{2000} + c x^{2} + \frac{c x}{10}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{a x^{3}}{2}\right)\, dx = - \frac{a \int x^{3}\, dx}{2}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a x^{4}}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3 a x^{2}}{20}\right)\, dx = - \frac{3 a \int x^{2}\, dx}{20}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a x^{3}}{20}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3 a x}{200}\right)\, dx = - \frac{3 a \int x\, dx}{200}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 a x^{2}}{400}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{a}{2000}\right)\, dx = - \frac{a x}{2000}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{b x^{3}}{2}\right)\, dx = - \frac{b \int x^{3}\, dx}{2}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{b x^{4}}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3 b x^{2}}{20}\right)\, dx = - \frac{3 b \int x^{2}\, dx}{20}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{b x^{3}}{20}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3 b x}{200}\right)\, dx = - \frac{3 b \int x\, dx}{200}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 b x^{2}}{400}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{b}{2000}\right)\, dx = - \frac{b x}{2000}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int c x^{2}\, dx = c \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{c x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{c x}{10}\, dx = \frac{c \int x\, dx}{10}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{c x^{2}}{20}$

            El resultado es: $- \frac{a x^{4}}{8} - \frac{a x^{3}}{20} - \frac{3 a x^{2}}{400} - \frac{a x}{2000} - \frac{b x^{4}}{8} - \frac{b x^{3}}{20} - \frac{3 b x^{2}}{400} - \frac{b x}{2000} + \frac{c x^{3}}{3} + \frac{c x^{2}}{20}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a x}{1000} - \frac{b x}{1000} + \frac{x^{4} \left(- \frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right)}{2} + \frac{2 x^{3} \left(- \frac{3 a}{20} - \frac{3 b}{20} + c\right)}{3} + x^{2} \left(- \frac{3 a}{200} - \frac{3 b}{200} + \frac{c}{10}\right)$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a x}{3000} - \frac{b x}{3000} + \frac{x^{4} \left(- \frac{a}{2} - \frac{b}{2}\right)}{6} + \frac{2 x^{3} \left(- \frac{3 a}{20} - \frac{3 b}{20} + c\right)}{9} + \frac{x^{2} \left(- \frac{3 a}{200} - \frac{3 b}{200} + \frac{c}{10}\right)}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(- 3 a - 3 b - 750 x^{3} \left(a + b\right) + 100 x^{2} \left(- 3 a - 3 b + 20 c\right) + 15 x \left(- 3 a - 3 b + 20 c\right)\right)}{9000}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(- 3 a - 3 b - 750 x^{3} \left(a + b\right) + 100 x^{2} \left(- 3 a - 3 b + 20 c\right) + 15 x \left(- 3 a - 3 b + 20 c\right)\right)}{9000}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- 3 a - 3 b - 750 x^{3} \left(a + b\right) + 100 x^{2} \left(- 3 a - 3 b + 20 c\right) + 15 x \left(- 3 a - 3 b + 20 c\right)\right)}{9000}+ \mathrm{constant}$