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Resolución de integrales/ 5-x^2/ (25-x^2)^13*x

Integral de (25-x^2)^13*x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |           13     
 |  /      2\       
 |  \25 - x /  *x dx
 |                  
/                   
0
∫01x(25−x2)13 dx\int\limits_{0}^{1} x \left(25 - x^{2}\right)^{13}\, dx 
Integral((25 - x^2)^13*x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=25−x2u = 25 - x^{2}.

      Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−u132) du\int \left(- \frac{u^{13}}{2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u13 du=−∫u13 du2\int u^{13}\, du = - \frac{\int u^{13}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u13 du=u1414\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}

        Por lo tanto, el resultado es: −u1428- \frac{u^{14}}{28}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −(25−x2)1428- \frac{\left(25 - x^{2}\right)^{14}}{28}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(25−x2)13=−x27+325x25−48750x23+4468750x21−279296875x19+12568359375x17−418945312500x15+10473632812500x13−196380615234375x11+2727508544921875x9−27275085449218750x7+185966491699218750x5−774860382080078125x3+1490116119384765625xx \left(25 - x^{2}\right)^{13} = - x^{27} + 325 x^{25} - 48750 x^{23} + 4468750 x^{21} - 279296875 x^{19} + 12568359375 x^{17} - 418945312500 x^{15} + 10473632812500 x^{13} - 196380615234375 x^{11} + 2727508544921875 x^{9} - 27275085449218750 x^{7} + 185966491699218750 x^{5} - 774860382080078125 x^{3} + 1490116119384765625 x

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x27) dx=−∫x27 dx\int \left(- x^{27}\right)\, dx = - \int x^{27}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x27 dx=x2828\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2828- \frac{x^{28}}{28}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫325x25 dx=325∫x25 dx\int 325 x^{25}\, dx = 325 \int x^{25}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x25 dx=x2626\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}

        Por lo tanto, el resultado es: 25x262\frac{25 x^{26}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−48750x23) dx=−48750∫x23 dx\int \left(- 48750 x^{23}\right)\, dx = - 48750 \int x^{23}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x23 dx=x2424\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}

        Por lo tanto, el resultado es: −8125x244- \frac{8125 x^{24}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4468750x21 dx=4468750∫x21 dx\int 4468750 x^{21}\, dx = 4468750 \int x^{21}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x21 dx=x2222\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}

        Por lo tanto, el resultado es: 203125x22203125 x^{22}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−279296875x19) dx=−279296875∫x19 dx\int \left(- 279296875 x^{19}\right)\, dx = - 279296875 \int x^{19}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x19 dx=x2020\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}

        Por lo tanto, el resultado es: −55859375x204- \frac{55859375 x^{20}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12568359375x17 dx=12568359375∫x17 dx\int 12568359375 x^{17}\, dx = 12568359375 \int x^{17}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x17 dx=x1818\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}

        Por lo tanto, el resultado es: 1396484375x182\frac{1396484375 x^{18}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−418945312500x15) dx=−418945312500∫x15 dx\int \left(- 418945312500 x^{15}\right)\, dx = - 418945312500 \int x^{15}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x15 dx=x1616\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −104736328125x164- \frac{104736328125 x^{16}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫10473632812500x13 dx=10473632812500∫x13 dx\int 10473632812500 x^{13}\, dx = 10473632812500 \int x^{13}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x13 dx=x1414\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}

        Por lo tanto, el resultado es: 5236816406250x147\frac{5236816406250 x^{14}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−196380615234375x11) dx=−196380615234375∫x11 dx\int \left(- 196380615234375 x^{11}\right)\, dx = - 196380615234375 \int x^{11}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x11 dx=x1212\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}

        Por lo tanto, el resultado es: −65460205078125x124- \frac{65460205078125 x^{12}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2727508544921875x9 dx=2727508544921875∫x9 dx\int 2727508544921875 x^{9}\, dx = 2727508544921875 \int x^{9}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x9 dx=x1010\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: 545501708984375x102\frac{545501708984375 x^{10}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−27275085449218750x7) dx=−27275085449218750∫x7 dx\int \left(- 27275085449218750 x^{7}\right)\, dx = - 27275085449218750 \int x^{7}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −13637542724609375x84- \frac{13637542724609375 x^{8}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫185966491699218750x5 dx=185966491699218750∫x5 dx\int 185966491699218750 x^{5}\, dx = 185966491699218750 \int x^{5}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: 30994415283203125x630994415283203125 x^{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−774860382080078125x3) dx=−774860382080078125∫x3 dx\int \left(- 774860382080078125 x^{3}\right)\, dx = - 774860382080078125 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −774860382080078125x44- \frac{774860382080078125 x^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1490116119384765625x dx=1490116119384765625∫x dx\int 1490116119384765625 x\, dx = 1490116119384765625 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 1490116119384765625x22\frac{1490116119384765625 x^{2}}{2}

      El resultado es: −x2828+25x262−8125x244+203125x22−55859375x204+1396484375x182−104736328125x164+5236816406250x147−65460205078125x124+545501708984375x102−13637542724609375x84+30994415283203125x6−774860382080078125x44+1490116119384765625x22- \frac{x^{28}}{28} + \frac{25 x^{26}}{2} - \frac{8125 x^{24}}{4} + 203125 x^{22} - \frac{55859375 x^{20}}{4} + \frac{1396484375 x^{18}}{2} - \frac{104736328125 x^{16}}{4} + \frac{5236816406250 x^{14}}{7} - \frac{65460205078125 x^{12}}{4} + \frac{545501708984375 x^{10}}{2} - \frac{13637542724609375 x^{8}}{4} + 30994415283203125 x^{6} - \frac{774860382080078125 x^{4}}{4} + \frac{1490116119384765625 x^{2}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    −(x2−25)1428- \frac{\left(x^{2} - 25\right)^{14}}{28}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(x2−25)1428+constant- \frac{\left(x^{2} - 25\right)^{14}}{28}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(x2−25)1428+constant- \frac{\left(x^{2} - 25\right)^{14}}{28}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  
 |                                 14
 |          13            /      2\  
 | /      2\              \25 - x /  
 | \25 - x /  *x dx = C - -----------
 |                             28    
/
∫x(25−x2)13 dx=C−(25−x2)1428\int x \left(25 - x^{2}\right)^{13}\, dx = C - \frac{\left(25 - x^{2}\right)^{14}}{28}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001000000000000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2316740408778650407/4
23167404087786504074\frac{2316740408778650407}{4} 
=
= 
2316740408778650407/4
23167404087786504074\frac{2316740408778650407}{4} 
2316740408778650407/4
Respuesta numérica [src] 
5.79185102194663e+17
5.79185102194663e+17

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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