Integral de (25-x^2)^13*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 25 - x^{2}$.

      Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{13}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{13}\, du = - \frac{\int u^{13}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{14}}{28}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(25 - x^{2}\right)^{14}}{28}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(25 - x^{2}\right)^{13} = - x^{27} + 325 x^{25} - 48750 x^{23} + 4468750 x^{21} - 279296875 x^{19} + 12568359375 x^{17} - 418945312500 x^{15} + 10473632812500 x^{13} - 196380615234375 x^{11} + 2727508544921875 x^{9} - 27275085449218750 x^{7} + 185966491699218750 x^{5} - 774860382080078125 x^{3} + 1490116119384765625 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{27}\right)\, dx = - \int x^{27}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{28}}{28}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 325 x^{25}\, dx = 325 \int x^{25}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{25 x^{26}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 48750 x^{23}\right)\, dx = - 48750 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8125 x^{24}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4468750 x^{21}\, dx = 4468750 \int x^{21}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $203125 x^{22}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 279296875 x^{19}\right)\, dx = - 279296875 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{55859375 x^{20}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12568359375 x^{17}\, dx = 12568359375 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1396484375 x^{18}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 418945312500 x^{15}\right)\, dx = - 418945312500 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{104736328125 x^{16}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10473632812500 x^{13}\, dx = 10473632812500 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5236816406250 x^{14}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 196380615234375 x^{11}\right)\, dx = - 196380615234375 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{65460205078125 x^{12}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2727508544921875 x^{9}\, dx = 2727508544921875 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{545501708984375 x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 27275085449218750 x^{7}\right)\, dx = - 27275085449218750 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{13637542724609375 x^{8}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 185966491699218750 x^{5}\, dx = 185966491699218750 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $30994415283203125 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 774860382080078125 x^{3}\right)\, dx = - 774860382080078125 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{774860382080078125 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1490116119384765625 x\, dx = 1490116119384765625 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1490116119384765625 x^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{x^{28}}{28} + \frac{25 x^{26}}{2} - \frac{8125 x^{24}}{4} + 203125 x^{22} - \frac{55859375 x^{20}}{4} + \frac{1396484375 x^{18}}{2} - \frac{104736328125 x^{16}}{4} + \frac{5236816406250 x^{14}}{7} - \frac{65460205078125 x^{12}}{4} + \frac{545501708984375 x^{10}}{2} - \frac{13637542724609375 x^{8}}{4} + 30994415283203125 x^{6} - \frac{774860382080078125 x^{4}}{4} + \frac{1490116119384765625 x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x^{2} - 25\right)^{14}}{28}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x^{2} - 25\right)^{14}}{28}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x^{2} - 25\right)^{14}}{28}+ \mathrm{constant}$