Integral de x^3*(4-(1/2)x^4)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 - \frac{x^{4}}{2}$.

      Luego que $du = - 2 x^{3} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{5}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(4 - \frac{x^{4}}{2}\right)^{6}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(4 - \frac{x^{4}}{2}\right)^{5} = - \frac{x^{23}}{32} + \frac{5 x^{19}}{4} - 20 x^{15} + 160 x^{11} - 640 x^{7} + 1024 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{23}}{32}\right)\, dx = - \frac{\int x^{23}\, dx}{32}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{24}}{768}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x^{19}}{4}\, dx = \frac{5 \int x^{19}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{20}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 20 x^{15}\right)\, dx = - 20 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{16}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 160 x^{11}\, dx = 160 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 640 x^{7}\right)\, dx = - 640 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 80 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1024 x^{3}\, dx = 1024 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $256 x^{4}$

      El resultado es: $- \frac{x^{24}}{768} + \frac{x^{20}}{16} - \frac{5 x^{16}}{4} + \frac{40 x^{12}}{3} - 80 x^{8} + 256 x^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x^{4} - 8\right)^{6}}{768}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x^{4} - 8\right)^{6}}{768}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x^{4} - 8\right)^{6}}{768}+ \mathrm{constant}$