Integral de ln2x/√x dx

Solución

Ha introducido [src]

  1            
  /            
 |             
 |  log(2*x)   
 |  -------- dx
 |     ___     
 |   \/ x      
 |             
/              
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(2 x \right)}}{\sqrt{x}}\, dx$$

Integral(log(2*x)/sqrt(x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \sqrt{x}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(2 \log{\left(u^{2} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \log{\left(u^{2} \right)}\, du = 2 \int \log{\left(u^{2} \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{u}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 2\, du = 2 u$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 u \log{\left(u^{2} \right)} - 4 u$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 2 \log{\left(2 \right)}\, du = 2 u \log{\left(2 \right)}$
    El resultado es: $2 u \log{\left(u^{2} \right)} - 4 u + 2 u \log{\left(2 \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(2 x \right)}}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{x}}$
2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
  
  Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u^{2}}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u^{2}}\, du$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u^{2}} = \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{u^{2}}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} + \frac{4}{u}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{u^{2}}\, du = 2 \log{\left(2 \right)} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{u}$
      
      El resultado es: $- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{u} + \frac{4}{u}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{4}{u} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{u}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)}$
Método #3
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
    
    $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{2}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$
  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
    
    $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$
  Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{x}$
Método #4
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(2 x \right)}}{\sqrt{x}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{\sqrt{x}}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$ :
    
    $\int \left(- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u^{2}}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u}$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u^{2}} \right)}}{u} - \frac{4}{u}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\log{\left(2 \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$
    1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)}$
  El resultado es: $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)}$
Ahora simplificar:

$2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(2 \right)}\right)$
Añadimos la constante de integración:

$2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(2 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(2 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                           
 |                                                            
 | log(2*x)              ___       ___              ___       
 | -------- dx = C - 4*\/ x  + 2*\/ x *log(2) + 2*\/ x *log(x)
 |    ___                                                     
 |  \/ x                                                      
 |                                                            
/

$$\int \frac{\log{\left(2 x \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = C + 2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} \log{\left(2 \right)}$$

Simplificar

Respuesta [src]

-4 + 2*log(2)

$$-4 + 2 \log{\left(2 \right)}$$

-4 + 2*log(2)

$$-4 + 2 \log{\left(2 \right)}$$

-4 + 2*log(2)

Respuesta numérica [src]

-2.61370561478253

-2.61370561478253

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de ln2x/√x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4