Sr Examen
Integral de (3x-2)/(3x^2+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3*x - 2 | -------- dx | 2 | 3*x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 2}{3 x^{2} + 1}\, dx$$
Integral((3*x - 2)/(3*x^2 + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3*x - 2 | -------- dx | 2 | 3*x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 3*2*x \
|--------------| /-2 \
| 2 | |---|
3*x - 2 \3*x + 0*x + 1/ \ 1 /
-------- = ---------------- + ---------------
2 2 2
3*x + 1 / ___ \
\-\/ 3 *x/ + 1o
/ | | 3*x - 2 | -------- dx | 2 = | 3*x + 1 | /
/
|
| 3*2*x
| -------------- dx
| 2
| 3*x + 0*x + 1 /
| |
/ | 1
-------------------- - 2* | --------------- dx
2 | 2
| / ___ \
| \-\/ 3 *x/ + 1
|
/ En integral
/
|
| 3*2*x
| -------------- dx
| 2
| 3*x + 0*x + 1
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
2 u = 3*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 1 + u
|
/ log(1 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 3*2*x
| -------------- dx
| 2
| 3*x + 0*x + 1
| / 2\
/ log\1 + 3*x /
-------------------- = -------------
2 2 En integral
/
|
| 1
-2* | --------------- dx
| 2
| / ___ \
| \-\/ 3 *x/ + 1
|
/ hacemos el cambio
___ v = -x*\/ 3
entonces
integral =
/
|
| 1
-2* | ------ dv = -2*atan(v)
| 2
| 1 + v
|
/ hacemos cambio inverso
/
| ___ / ___\
| 1 -2*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
-2* | --------------- dx = ----------------------
| 2 3
| / ___ \
| \-\/ 3 *x/ + 1
|
/ La solución:
/1 2\
log|- + x | ___ / ___\
\3 / 2*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
C + ----------- - ---------------------
2 3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2\ ___ / ___\ | 3*x - 2 log\3 + 9*x / 2*\/ 3 *atan\x*\/ 3 / | -------- dx = C + ------------- - --------------------- | 2 2 3 | 3*x + 1 | /
$$\int \frac{3 x - 2}{3 x^{2} + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(9 x^{2} + 3 \right)}}{2} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___ log(3) log(4/3) 2*pi*\/ 3 ------ + -------- - ---------- 2 2 9
$$- \frac{2 \sqrt{3} \pi}{9} + \frac{\log{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
=
=
___ log(3) log(4/3) 2*pi*\/ 3 ------ + -------- - ---------- 2 2 9
$$- \frac{2 \sqrt{3} \pi}{9} + \frac{\log{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
log(3)/2 + log(4/3)/2 - 2*pi*sqrt(3)/9
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.