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Resolución de integrales/ x^2+1/ (3x-2)/ (3x-2)/(3x^2+1)

Integral de (3x-2)/(3x^2+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |  3*x - 2    
 |  -------- dx
 |     2       
 |  3*x  + 1   
 |             
/              
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 2}{3 x^{2} + 1}\, dx$$ 
Integral((3*x - 2)/(3*x^2 + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 | 3*x - 2    
 | -------- dx
 |    2       
 | 3*x  + 1   
 |            
/
Reescribimos la función subintegral
           /    3*2*x     \                  
           |--------------|        /-2 \     
           |   2          |        |---|     
3*x - 2    \3*x  + 0*x + 1/        \ 1 /     
-------- = ---------------- + ---------------
   2              2                     2    
3*x  + 1                      /   ___  \     
                              \-\/ 3 *x/  + 1
o
  /             
 |              
 | 3*x - 2      
 | -------- dx  
 |    2        =
 | 3*x  + 1     
 |              
/               
  
  /                                           
 |                                            
 |     3*2*x                                  
 | -------------- dx                          
 |    2                                       
 | 3*x  + 0*x + 1          /                  
 |                        |                   
/                         |        1          
-------------------- - 2* | --------------- dx
         2                |           2       
                          | /   ___  \        
                          | \-\/ 3 *x/  + 1   
                          |                   
                         /
En integral
  /                 
 |                  
 |     3*2*x        
 | -------------- dx
 |    2             
 | 3*x  + 0*x + 1   
 |                  
/                   
--------------------
         2
hacemos el cambio
       2
u = 3*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 1 + u                
 |                      
/             log(1 + u)
----------- = ----------
     2            2
hacemos cambio inverso
  /                                 
 |                                  
 |     3*2*x                        
 | -------------- dx                
 |    2                             
 | 3*x  + 0*x + 1                   
 |                        /       2\
/                      log\1 + 3*x /
-------------------- = -------------
         2                   2
En integral
     /                  
    |                   
    |        1          
-2* | --------------- dx
    |           2       
    | /   ___  \        
    | \-\/ 3 *x/  + 1   
    |                   
   /
hacemos el cambio
         ___
v = -x*\/ 3
entonces
integral =
     /                      
    |                       
    |   1                   
-2* | ------ dv = -2*atan(v)
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /
hacemos cambio inverso
     /                                           
    |                           ___     /    ___\
    |        1             -2*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
-2* | --------------- dx = ----------------------
    |           2                    3           
    | /   ___  \                                 
    | \-\/ 3 *x/  + 1                            
    |                                            
   /
La solución:
       /1    2\                        
    log|- + x |       ___     /    ___\
       \3     /   2*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
C + ----------- - ---------------------
         2                  3
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                      /       2\       ___     /    ___\
 | 3*x - 2           log\3 + 9*x /   2*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
 | -------- dx = C + ------------- - ---------------------
 |    2                    2                   3          
 | 3*x  + 1                                               
 |                                                        
/
$$\int \frac{3 x - 2}{3 x^{2} + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(9 x^{2} + 3 \right)}}{2} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                           ___
log(3)   log(4/3)   2*pi*\/ 3 
------ + -------- - ----------
  2         2           9
$$- \frac{2 \sqrt{3} \pi}{9} + \frac{\log{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$ 
=
= 
                           ___
log(3)   log(4/3)   2*pi*\/ 3 
------ + -------- - ----------
  2         2           9
$$- \frac{2 \sqrt{3} \pi}{9} + \frac{\log{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$ 
log(3)/2 + log(4/3)/2 - 2*pi*sqrt(3)/9
Respuesta numérica [src] 
-0.5160523955962
-0.5160523955962

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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