Integral de y=1/sqrtx(4-8x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{t} \left(4 - 8 x\right)^{2} = \frac{64 x^{3}}{t} - \frac{64 x^{2}}{t} + \frac{16 x}{t}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{64 x^{3}}{t}\, dx = \frac{64 \int x^{3}\, dx}{t}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{4}}{t}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{64 x^{2}}{t}\right)\, dx = - \frac{64 \int x^{2}\, dx}{t}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{64 x^{3}}{3 t}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{16 x}{t}\, dx = \frac{16 \int x\, dx}{t}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 x^{2}}{t}$

      El resultado es: $\frac{16 x^{4}}{t} - \frac{64 x^{3}}{3 t} + \frac{8 x^{2}}{t}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{t} \left(4 - 8 x\right)^{2} = \frac{64 x^{3} - 64 x^{2} + 16 x}{t}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{64 x^{3} - 64 x^{2} + 16 x}{t}\, dx = \frac{\int \left(64 x^{3} - 64 x^{2} + 16 x\right)\, dx}{t}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 64 x^{3}\, dx = 64 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $16 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 64 x^{2}\right)\, dx = - 64 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{64 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 x\, dx = 16 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 x^{2}$

         El resultado es: $16 x^{4} - \frac{64 x^{3}}{3} + 8 x^{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{4} - \frac{64 x^{3}}{3} + 8 x^{2}}{t}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(16 x^{2} - \frac{64 x}{3} + 8\right)}{t}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(16 x^{2} - \frac{64 x}{3} + 8\right)}{t}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(16 x^{2} - \frac{64 x}{3} + 8\right)}{t}+ \mathrm{constant}$