Integral de 2+2(y-2)^2+(2/3) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \left(y - 2\right)^{2}\, dy = 2 \int \left(y - 2\right)^{2}\, dy$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = y - 2$.

               Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\left(y - 2\right)^{3}}{3}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(y - 2\right)^{2} = y^{2} - 4 y + 4$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 4 y\right)\, dy = - 4 \int y\, dy$

                  1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 y^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 4\, dy = 4 y$

               El resultado es: $\frac{y^{3}}{3} - 2 y^{2} + 4 y$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(y - 2\right)^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dy = 2 y$

      El resultado es: $2 y + \frac{2 \left(y - 2\right)^{3}}{3}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{2}{3}\, dy = \frac{2 y}{3}$

   El resultado es: $\frac{8 y}{3} + \frac{2 \left(y - 2\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{8 y}{3} + \frac{2 \left(y - 2\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 y}{3} + \frac{2 \left(y - 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 y}{3} + \frac{2 \left(y - 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$