Integral de (1-x^2)3x^3dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x^{2}$.

      Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{3 u^{2}}{2} + \frac{3 u}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u^{2}}{2}\, du = \frac{3 \int u^{2}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u}{2}\, du = \frac{3 \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{2} + \frac{3 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{6}}{2} + \frac{3 x^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \cdot 3 \left(1 - x^{2}\right) = - 3 x^{5} + 3 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{5}\right)\, dx = - 3 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{x^{6}}{2} + \frac{3 x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(3 - 2 x^{2}\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(3 - 2 x^{2}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(3 - 2 x^{2}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$