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Resolución de integrales/ (x-1)/ (x-2)/ (x-3)/ x^2/((x-1)(x-2)(x-3))

Integral de x^2/((x-1)(x-2)(x-3)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |              2             
 |             x              
 |  ----------------------- dx
 |  (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)   
 |                            
/                             
0
∫01x2(x−2)(x−1)(x−3) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}\, dx 
Integral(x^2/((((x - 1)*(x - 2))*(x - 3))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(x−2)(x−1)(x−3)=12(x−1)−4x−2+92(x−3)\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)} = \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} - \frac{4}{x - 2} + \frac{9}{2 \left(x - 3\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−1) dx=∫1x−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4x−2) dx=−4∫1x−2 dx\int \left(- \frac{4}{x - 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x−2)- 4 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫92(x−3) dx=9∫1x−3 dx2\int \frac{9}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(x−3)2\frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}

      El resultado es: 9log⁡(x−3)2−4log⁡(x−2)+log⁡(x−1)2\frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(x−2)(x−1)(x−3)=x2x3−6x2+11x−6\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)} = \frac{x^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x3−6x2+11x−6=12(x−1)−4x−2+92(x−3)\frac{x^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6} = \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} - \frac{4}{x - 2} + \frac{9}{2 \left(x - 3\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−1) dx=∫1x−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4x−2) dx=−4∫1x−2 dx\int \left(- \frac{4}{x - 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x−2)- 4 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫92(x−3) dx=9∫1x−3 dx2\int \frac{9}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(x−3)2\frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}

      El resultado es: 9log⁡(x−3)2−4log⁡(x−2)+log⁡(x−1)2\frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(x−2)(x−1)(x−3)=x2x3−6x2+11x−6\frac{x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)} = \frac{x^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x3−6x2+11x−6=12(x−1)−4x−2+92(x−3)\frac{x^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6} = \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} - \frac{4}{x - 2} + \frac{9}{2 \left(x - 3\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−1) dx=∫1x−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4x−2) dx=−4∫1x−2 dx\int \left(- \frac{4}{x - 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x−2)- 4 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫92(x−3) dx=9∫1x−3 dx2\int \frac{9}{2 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{2}

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(x−3)2\frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2}

      El resultado es: 9log⁡(x−3)2−4log⁡(x−2)+log⁡(x−1)2\frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    9log⁡(x−3)2−4log⁡(x−2)+log⁡(x−1)2+constant\frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

9log⁡(x−3)2−4log⁡(x−2)+log⁡(x−1)2+constant\frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                            
 |                                                                             
 |             2                                                               
 |            x                     log(-1 + x)                   9*log(-3 + x)
 | ----------------------- dx = C + ----------- - 4*log(-2 + x) + -------------
 | (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)               2                              2      
 |                                                                             
/
∫x2(x−2)(x−1)(x−3) dx=C+9log⁡(x−3)2−4log⁡(x−2)+log⁡(x−1)2\int \frac{x^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}\, dx = C + \frac{9 \log{\left(x - 3 \right)}}{2} - 4 \log{\left(x - 2 \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo - pi*I
−∞−iπ-\infty - i \pi 
=
= 
-oo - pi*I
−∞−iπ-\infty - i \pi 
-oo - pi*i
Respuesta numérica [src] 
-21.0974826573567
-21.0974826573567

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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