Integral de (3/2-x)^2-(x^4)/4 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{4}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x^{4}\, dx}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{20}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{3}{2} - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(\frac{3}{2} - x\right)^{3}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{3}{2} - x\right)^{2} = x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{9}{4}\, dx = \frac{9 x}{4}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{4}$

   El resultado es: $- \frac{x^{5}}{20} - \frac{\left(\frac{3}{2} - x\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{5}}{20} + \frac{\left(2 x - 3\right)^{3}}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{5}}{20} + \frac{\left(2 x - 3\right)^{3}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{5}}{20} + \frac{\left(2 x - 3\right)^{3}}{24}+ \mathrm{constant}$