Integral de 1+1/4(e^(2x)+e^(-2x))^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right)^{2}}{4}\, dx = \frac{\int \left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right)^{2}\, dx}{4}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = e^{2 x}$.

            Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{2 u^{3}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{3}}\, du}{2}$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. que $u = u^{2}$.

                     Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{2 u^{2}}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{2}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}} = 1 + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                              1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                              Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{u^{2}}{2} + \log{\left(u^{2} \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{3}} = u + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{3}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                     El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4} + \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2} - \frac{1}{4 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4} + \frac{\log{\left(e^{4 x} \right)}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{4}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right)^{2} = \left(e^{8 x} + 2 e^{4 x} + 1\right) e^{- 4 x}$

         2. que $u = e^{4 x}$.

            Luego que $du = 4 e^{4 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{4 u^{2}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{4}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}} = 1 + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{4} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2} - \frac{1}{4 u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4} + \frac{\log{\left(e^{4 x} \right)}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{4}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(e^{2 x} + e^{- 2 x}\right)^{2} = e^{4 x} + 2 + e^{- 4 x}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, dx = 2 x$

            1. que $u = - 4 x$.

               Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

            El resultado es: $2 x + \frac{e^{4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 x}}{16} + \frac{\log{\left(e^{4 x} \right)}}{8} - \frac{e^{- 4 x}}{16}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $x + \frac{e^{4 x}}{16} + \frac{\log{\left(e^{4 x} \right)}}{8} - \frac{e^{- 4 x}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $x + \frac{\log{\left(\sinh{\left(4 x \right)} + \cosh{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sinh{\left(4 x \right)}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x + \frac{\log{\left(\sinh{\left(4 x \right)} + \cosh{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sinh{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \frac{\log{\left(\sinh{\left(4 x \right)} + \cosh{\left(4 x \right)} \right)}}{8} + \frac{\sinh{\left(4 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$