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Resolución de integrales/ sin²x/ cos²x/ cos²x×sin²x

Integral de cos²x×sin²x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     2       2      
 |  cos (x)*sin (x) dx
 |                    
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0
∫01sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)^2*sin(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡2(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(18−cos⁡2(u)8) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡2(u)8) du=−∫cos⁡2(u) du8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u16−sin⁡(2u)32- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

        El resultado es: u16−sin⁡(2u)32\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)=14−cos⁡2(2x)4\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(2x)4) dx=−∫cos⁡2(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −x8−sin⁡(4x)32- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      El resultado es: x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)=14−cos⁡2(2x)4\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(2x)4) dx=−∫cos⁡2(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −x8−sin⁡(4x)32- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      El resultado es: x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x8−sin⁡(4x)32+constant\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x8−sin⁡(4x)32+constant\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     
 |                                      
 |    2       2             sin(4*x)   x
 | cos (x)*sin (x) dx = C - -------- + -
 |                             32      8
/
∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx=C+x8−sin⁡(4x)32\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.50
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   cos(2)*sin(2)
- - -------------
8         16
−sin⁡(2)cos⁡(2)16+18- \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{16} + \frac{1}{8} 
=
= 
1   cos(2)*sin(2)
- - -------------
8         16
−sin⁡(2)cos⁡(2)16+18- \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{16} + \frac{1}{8} 
1/8 - cos(2)*sin(2)/16
Respuesta numérica [src] 
0.148650077978373
0.148650077978373

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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