Integral de (x-3)^7+e^(4x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x - 3$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{7}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x - 3\right)^{8}}{8}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x - 3\right)^{7} = x^{7} - 21 x^{6} + 189 x^{5} - 945 x^{4} + 2835 x^{3} - 5103 x^{2} + 5103 x - 2187$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 21 x^{6}\right)\, dx = - 21 \int x^{6}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 189 x^{5}\, dx = 189 \int x^{5}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{63 x^{6}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 945 x^{4}\right)\, dx = - 945 \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 189 x^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2835 x^{3}\, dx = 2835 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2835 x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5103 x^{2}\right)\, dx = - 5103 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 1701 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5103 x\, dx = 5103 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5103 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2187\right)\, dx = - 2187 x$

         El resultado es: $\frac{x^{8}}{8} - 3 x^{7} + \frac{63 x^{6}}{2} - 189 x^{5} + \frac{2835 x^{4}}{4} - 1701 x^{3} + \frac{5103 x^{2}}{2} - 2187 x$

   1. que $u = 4 x$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{4 x}}{4}$

   El resultado es: $\frac{\left(x - 3\right)^{8}}{8} + \frac{e^{4 x}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 3\right)^{8}}{8} + \frac{e^{4 x}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 3\right)^{8}}{8} + \frac{e^{4 x}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 3\right)^{8}}{8} + \frac{e^{4 x}}{4}+ \mathrm{constant}$