Integral de x(2x+5)^8 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(2 x + 5\right)^{8} = 256 x^{9} + 5120 x^{8} + 44800 x^{7} + 224000 x^{6} + 700000 x^{5} + 1400000 x^{4} + 1750000 x^{3} + 1250000 x^{2} + 390625 x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 256 x^{9}\, dx = 256 \int x^{9}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 x^{10}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5120 x^{8}\, dx = 5120 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5120 x^{9}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 44800 x^{7}\, dx = 44800 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5600 x^{8}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 224000 x^{6}\, dx = 224000 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $32000 x^{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 700000 x^{5}\, dx = 700000 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{350000 x^{6}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1400000 x^{4}\, dx = 1400000 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $280000 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1750000 x^{3}\, dx = 1750000 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $437500 x^{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1250000 x^{2}\, dx = 1250000 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1250000 x^{3}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 390625 x\, dx = 390625 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{390625 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{128 x^{10}}{5} + \frac{5120 x^{9}}{9} + 5600 x^{8} + 32000 x^{7} + \frac{350000 x^{6}}{3} + 280000 x^{5} + 437500 x^{4} + \frac{1250000 x^{3}}{3} + \frac{390625 x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(2304 x^{8} + 51200 x^{7} + 504000 x^{6} + 2880000 x^{5} + 10500000 x^{4} + 25200000 x^{3} + 39375000 x^{2} + 37500000 x + 17578125\right)}{90}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(2304 x^{8} + 51200 x^{7} + 504000 x^{6} + 2880000 x^{5} + 10500000 x^{4} + 25200000 x^{3} + 39375000 x^{2} + 37500000 x + 17578125\right)}{90}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(2304 x^{8} + 51200 x^{7} + 504000 x^{6} + 2880000 x^{5} + 10500000 x^{4} + 25200000 x^{3} + 39375000 x^{2} + 37500000 x + 17578125\right)}{90}+ \mathrm{constant}$