Integral de 1/2(sin4t+sin2t) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sin{\left(2 t \right)} + \sin{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \left(\sin{\left(2 t \right)} + \sin{\left(4 t \right)}\right)\, dt}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 t$.

            Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

         Método #2

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = \cos{\left(t \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$

               Método #2

               1. que $u = \sin{\left(t \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(t \right)}$

      1. que $u = 4 t$.

         Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{8}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$