Integral de (x-4)^2×ln(x-4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x - 4$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2} \log{\left(u \right)}\, du$

      1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{3 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$

            1. que $u = 3 u$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{3 u}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{u^{3} \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{u^{3}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x - 4\right)^{3} \log{\left(x - 4 \right)}}{3} - \frac{\left(x - 4\right)^{3}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 4\right)^{2} \log{\left(x - 4 \right)} = x^{2} \log{\left(x - 4 \right)} - 8 x \log{\left(x - 4 \right)} + 16 \log{\left(x - 4 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 4 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x - 4}\, dx}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{3}}{x - 4} = x^{2} + 4 x + 16 + \frac{64}{x - 4}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 16\, dx = 16 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{64}{x - 4}\, dx = 64 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

               1. que $u = x - 4$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 4 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $64 \log{\left(x - 4 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 16 x + 64 \log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{16 x}{3} + \frac{64 \log{\left(x - 4 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x \log{\left(x - 4 \right)}\right)\, dx = - 8 \int x \log{\left(x - 4 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 4 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 4}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x - 4} = x + 4 + \frac{16}{x - 4}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 4\, dx = 4 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{16}{x - 4}\, dx = 16 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

                  1. que $u = x - 4$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x - 4 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $16 \log{\left(x - 4 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 16 \log{\left(x - 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 8 \log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2} \log{\left(x - 4 \right)} + 2 x^{2} + 16 x + 64 \log{\left(x - 4 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 \log{\left(x - 4 \right)}\, dx = 16 \int \log{\left(x - 4 \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = x - 4$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- x + \left(x - 4\right) \log{\left(x - 4 \right)} + 4$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 4 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x - 4} = 1 + \frac{4}{x - 4}$

            3. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{x - 4}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

                  1. que $u = x - 4$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x - 4 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x - 4 \right)}$

               El resultado es: $x + 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 16 x + 16 \left(x - 4\right) \log{\left(x - 4 \right)} + 64$

      El resultado es: $\frac{x^{3} \log{\left(x - 4 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - 4 x^{2} \log{\left(x - 4 \right)} + \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{16 x}{3} + 16 \left(x - 4\right) \log{\left(x - 4 \right)} + \frac{128 \log{\left(x - 4 \right)}}{3} + 64$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 4 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \left(x - 4\right)^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x - 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x - 4\right)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 8 x\right)\, dx = - 8 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 16\, dx = 16 x$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 4 x^{2} + 16 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{\left(x - 4\right)^{3}}{x - 4}\, dx}{3}$

      1. que $u = \left(x - 4\right)^{3}$.

         Luego que $du = 3 \left(x - 4\right)^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(x - 4\right)^{3}}{9}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 4\right)^{2} \log{\left(x - 4 \right)} = x^{2} \log{\left(x - 4 \right)} - 8 x \log{\left(x - 4 \right)} + 16 \log{\left(x - 4 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 4 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x - 4}\, dx}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{3}}{x - 4} = x^{2} + 4 x + 16 + \frac{64}{x - 4}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 16\, dx = 16 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{64}{x - 4}\, dx = 64 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

               1. que $u = x - 4$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 4 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $64 \log{\left(x - 4 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 16 x + 64 \log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{16 x}{3} + \frac{64 \log{\left(x - 4 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x \log{\left(x - 4 \right)}\right)\, dx = - 8 \int x \log{\left(x - 4 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 4 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 4}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 4}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x - 4} = x + 4 + \frac{16}{x - 4}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 4\, dx = 4 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{16}{x - 4}\, dx = 16 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

                  1. que $u = x - 4$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x - 4 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $16 \log{\left(x - 4 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 16 \log{\left(x - 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 8 \log{\left(x - 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2} \log{\left(x - 4 \right)} + 2 x^{2} + 16 x + 64 \log{\left(x - 4 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 \log{\left(x - 4 \right)}\, dx = 16 \int \log{\left(x - 4 \right)}\, dx$

         1. que $u = x - 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x + \left(x - 4\right) \log{\left(x - 4 \right)} + 4$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 16 x + 16 \left(x - 4\right) \log{\left(x - 4 \right)} + 64$

      El resultado es: $\frac{x^{3} \log{\left(x - 4 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - 4 x^{2} \log{\left(x - 4 \right)} + \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{16 x}{3} + 16 \left(x - 4\right) \log{\left(x - 4 \right)} + \frac{128 \log{\left(x - 4 \right)}}{3} + 64$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 4\right)^{3} \left(3 \log{\left(x - 4 \right)} - 1\right)}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 4\right)^{3} \left(3 \log{\left(x - 4 \right)} - 1\right)}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 4\right)^{3} \left(3 \log{\left(x - 4 \right)} - 1\right)}{9}+ \mathrm{constant}$