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Resolución de integrales/ lny/y/ lny/y^3

Integral de lny/y^3 dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |  log(y)   
 |  ------ dy
 |     3     
 |    y      
 |           
/            
0
∫01log⁡(y)y3 dy\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(y \right)}}{y^{3}}\, dy 
Integral(log(y)/y^3, (y, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(y)u = \log{\left(y \right)}.

      Luego que du=dyydu = \frac{dy}{y} y ponemos dudu:

      ∫ue−2u du\int u e^{- 2 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−2uu = - 2 u.

          Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e−2u2) du=−∫e−2u du2\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}

        1. que u=−2uu = - 2 u.

          Luego que du=−2dudu = - 2 du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−eu2) du\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−2u2- \frac{e^{- 2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e−2u4\frac{e^{- 2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(y)2y2−14y2- \frac{\log{\left(y \right)}}{2 y^{2}} - \frac{1}{4 y^{2}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(y)=log⁡(y)u{\left(y \right)} = \log{\left(y \right)} y que dv⁡(y)=1y3\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{3}}.

      Entonces du⁡(y)=1y\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{1}{y}.

      Para buscar v(y)v{\left(y \right)}:

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1y3 dy=−12y2\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = - \frac{1}{2 y^{2}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−12y3) dy=−∫1y3 dy2\int \left(- \frac{1}{2 y^{3}}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{1}{y^{3}}\, dy}{2}

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1y3 dy=−12y2\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = - \frac{1}{2 y^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 14y2\frac{1}{4 y^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    −2log⁡(y)+14y2- \frac{2 \log{\left(y \right)} + 1}{4 y^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2log⁡(y)+14y2+constant- \frac{2 \log{\left(y \right)} + 1}{4 y^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2log⁡(y)+14y2+constant- \frac{2 \log{\left(y \right)} + 1}{4 y^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             
 |                              
 | log(y)           1     log(y)
 | ------ dy = C - ---- - ------
 |    3               2       2 
 |   y             4*y     2*y  
 |                              
/
∫log⁡(y)y3 dy=C−log⁡(y)2y2−14y2\int \frac{\log{\left(y \right)}}{y^{3}}\, dy = C - \frac{\log{\left(y \right)}}{2 y^{2}} - \frac{1}{4 y^{2}}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-3.98309783194748e+39
-3.98309783194748e+39

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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