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Resolución de integrales/ 12x-2/ sin3x/ (12x-2pi)*sin3x

Integral de (12x-2pi)*sin3x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                          
 --                          
 12                          
  /                          
 |                           
 |  (12*x - 2*pi)*sin(3*x) dx
 |                           
/                            
0
∫0π12(12x−2π)sin⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{12}} \left(12 x - 2 \pi\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral((12*x - 2*pi)*sin(3*x), (x, 0, pi/12))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(4usin⁡(u)3−2πsin⁡(u)3) du\int \left(\frac{4 u \sin{\left(u \right)}}{3} - \frac{2 \pi \sin{\left(u \right)}}{3}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4usin⁡(u)3 du=4∫usin⁡(u) du3\int \frac{4 u \sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{4 \int u \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(u)) du=−∫cos⁡(u) du\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)- \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4ucos⁡(u)3+4sin⁡(u)3- \frac{4 u \cos{\left(u \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2πsin⁡(u)3) du=−2π∫sin⁡(u) du3\int \left(- \frac{2 \pi \sin{\left(u \right)}}{3}\right)\, du = - \frac{2 \pi \int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2πcos⁡(u)3\frac{2 \pi \cos{\left(u \right)}}{3}

        El resultado es: −4ucos⁡(u)3+4sin⁡(u)3+2πcos⁡(u)3- \frac{4 u \cos{\left(u \right)}}{3} + \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{3} + \frac{2 \pi \cos{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −4xcos⁡(3x)+4sin⁡(3x)3+2πcos⁡(3x)3- 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \pi \cos{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12x−2π)sin⁡(3x)=12xsin⁡(3x)−2πsin⁡(3x)\left(12 x - 2 \pi\right) \sin{\left(3 x \right)} = 12 x \sin{\left(3 x \right)} - 2 \pi \sin{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12xsin⁡(3x) dx=12∫xsin⁡(3x) dx\int 12 x \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 12 \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(3x)3) dx=−∫cos⁡(3x) dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(3x)9- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(3x)+4sin⁡(3x)3- 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2πsin⁡(3x)) dx=−2π∫sin⁡(3x) dx\int \left(- 2 \pi \sin{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \pi \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2πcos⁡(3x)3\frac{2 \pi \cos{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: −4xcos⁡(3x)+4sin⁡(3x)3+2πcos⁡(3x)3- 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \pi \cos{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=12x−2πu{\left(x \right)} = 12 x - 2 \pi y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=12\operatorname{du}{\left(x \right)} = 12.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4cos⁡(3x)) dx=−4∫cos⁡(3x) dx\int \left(- 4 \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(3x)3- \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12x−2π)sin⁡(3x)=12xsin⁡(3x)−2πsin⁡(3x)\left(12 x - 2 \pi\right) \sin{\left(3 x \right)} = 12 x \sin{\left(3 x \right)} - 2 \pi \sin{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12xsin⁡(3x) dx=12∫xsin⁡(3x) dx\int 12 x \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 12 \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(3x)3) dx=−∫cos⁡(3x) dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(3x)9- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(3x)+4sin⁡(3x)3- 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2πsin⁡(3x)) dx=−2π∫sin⁡(3x) dx\int \left(- 2 \pi \sin{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \pi \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2πcos⁡(3x)3\frac{2 \pi \cos{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: −4xcos⁡(3x)+4sin⁡(3x)3+2πcos⁡(3x)3- 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \pi \cos{\left(3 x \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −4xcos⁡(3x)+4sin⁡(3x)3+2πcos⁡(3x)3+constant- 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \pi \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−4xcos⁡(3x)+4sin⁡(3x)3+2πcos⁡(3x)3+constant- 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \pi \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                         
 |                                 4*sin(3*x)                  2*pi*cos(3*x)
 | (12*x - 2*pi)*sin(3*x) dx = C + ---------- - 4*x*cos(3*x) + -------------
 |                                     3                             3      
/
∫(12x−2π)sin⁡(3x) dx=C−4xcos⁡(3x)+4sin⁡(3x)3+2πcos⁡(3x)3\int \left(12 x - 2 \pi\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx = C - 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 \pi \cos{\left(3 x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.0000.0250.0500.0750.1000.1250.1500.1750.2000.2250.2505-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
             ___        ___
  2*pi   2*\/ 2    pi*\/ 2 
- ---- + ------- + --------
   3        3         6
−2π3+2π6+223- \frac{2 \pi}{3} + \frac{\sqrt{2} \pi}{6} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} 
=
= 
             ___        ___
  2*pi   2*\/ 2    pi*\/ 2 
- ---- + ------- + --------
   3        3         6
−2π3+2π6+223- \frac{2 \pi}{3} + \frac{\sqrt{2} \pi}{6} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} 
-2*pi/3 + 2*sqrt(2)/3 + pi*sqrt(2)/6
Respuesta numérica [src] 
-0.411105571118071
-0.411105571118071

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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