Integral de sin2xe^cos2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{e^{\cos{\left(u \right)}} \sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{\cos{\left(u \right)}} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int e^{\cos{\left(u \right)}} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{\cos{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{\cos{\left(u \right)}}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{\cos{\left(2 x \right)}}}{2}$

   Método #2

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{\cos{\left(2 x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{\cos{\left(2 x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{\cos{\left(2 x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = e^{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{e}$:

         $\int \left(- \frac{u e^{2 u^{2}}}{e}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{2 u^{2}}\, du = - \frac{\int u e^{2 u^{2}}\, du}{e}$

            1. que $u = 2 u^{2}$.

               Luego que $du = 4 u du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 u^{2}}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{2 u^{2}}}{4 e}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}}{4 e}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}}{2 e}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{e^{\cos{\left(2 x \right)}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{e^{\cos{\left(2 x \right)}}}{2}+ \mathrm{constant}$