Integral de x^4sen2xdx dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  x *sin(2*x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{0} x^{4} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$

Integral(x^4*sin(2*x), (x, 0, 0))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = x^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x^{3}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
    Método #1
    
    que $u = 2 x$ .
    
    Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
    
    La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
    
    La integral del seno es un coseno menos:
    
    $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
    
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Método #2
    
    La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    
    que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u\right)\, du$
    
    La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int u\, du = - \int u\, du$
    
    Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
    
    $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
    
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
    
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    
    Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = - 2 x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 6 x^{2}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = 2 x$ .
    
    Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
  Ahora resolvemos podintegral.
3. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = - 3 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 6 x$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = 2 x$ .
    
    Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  Ahora resolvemos podintegral.
4. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = 3 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = 2 x$ .
    
    Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
  Ahora resolvemos podintegral.
5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{3 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
  1. que $u = 2 x$ .
    
    Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}$
Método #2
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 2 x^{4} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x^{4} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = x^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x^{3}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = - x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x^{2}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  3. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = - \frac{3 x^{2}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 3 x$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  4. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = \frac{3 x}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{2}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
    1. que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + x^{3} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{x^{4} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + x^{3} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{4} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + x^{3} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                          
 |                                                                 4               2         
 |  4                   3*cos(2*x)    3            3*x*sin(2*x)   x *cos(2*x)   3*x *cos(2*x)
 | x *sin(2*x) dx = C - ---------- + x *sin(2*x) - ------------ - ----------- + -------------
 |                          4                           2              2              2      
/

$$\int x^{4} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C - \frac{x^{4} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + x^{3} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

$$0$$

Respuesta numérica [src]

0.0

0.0

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de x^4sen2xdx dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #2