Integral de (5x+8)(x+1)^2/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(5 x + 8\right)}{x^{2}} = 5 x + 18 + \frac{21}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x\, dx = 5 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 18\, dx = 18 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{21}{x}\, dx = 21 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $21 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x^{2}}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{x}$

      El resultado es: $\frac{5 x^{2}}{2} + 18 x + 21 \log{\left(x \right)} - \frac{8}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(5 x + 8\right)}{x^{2}} = \frac{5 x^{3} + 18 x^{2} + 21 x + 8}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x^{3} + 18 x^{2} + 21 x + 8}{x^{2}} = 5 x + 18 + \frac{21}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x\, dx = 5 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 18\, dx = 18 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{21}{x}\, dx = 21 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $21 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x^{2}}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{x}$

      El resultado es: $\frac{5 x^{2}}{2} + 18 x + 21 \log{\left(x \right)} - \frac{8}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x^{2}}{2} + 18 x + 21 \log{\left(x \right)} - \frac{8}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{2}}{2} + 18 x + 21 \log{\left(x \right)} - \frac{8}{x}+ \mathrm{constant}$