Integral de ctg(9b)-5b dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 5 b\right)\, db = - 5 \int b\, db$

      1. Integral $b^{n}$ es $\frac{b^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int b\, db = \frac{b^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 b^{2}}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cot{\left(9 b \right)} = \frac{\cos{\left(9 b \right)}}{\sin{\left(9 b \right)}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sin{\left(9 b \right)}$.

         Luego que $du = 9 \cos{\left(9 b \right)} db$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

         $\int \frac{1}{9 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{9}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sin{\left(9 b \right)} \right)}}{9}$

      Método #2

      1. que $u = 9 b$.

         Luego que $du = 9 db$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9 \sin{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du}{9}$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\sin{\left(9 b \right)} \right)}}{9}$

   El resultado es: $- \frac{5 b^{2}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(9 b \right)} \right)}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{5 b^{2}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(9 b \right)} \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{5 b^{2}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(9 b \right)} \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$