Integral de x/(√x^2-2x+10) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{3}}{u^{2} - 10}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3}}{u^{2} - 10}\, du = - 2 \int \frac{u^{3}}{u^{2} - 10}\, du$

         1. que $u = u^{2}$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u}{2 u - 20}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{2 u - 20} = \frac{1}{2} + \frac{5}{u - 10}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{5}{u - 10}\, du = 5 \int \frac{1}{u - 10}\, du$

                  1. que $u = u - 10$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u - 10 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(u - 10 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u}{2} + 5 \log{\left(u - 10 \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{2}}{2} + 5 \log{\left(u^{2} - 10 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} - 10 \log{\left(u^{2} - 10 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x - 10 \log{\left(x - 10 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 2 x\right) + 10} = - \frac{x}{x - 10}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{x - 10}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 10}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x - 10} = 1 + \frac{10}{x - 10}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{10}{x - 10}\, dx = 10 \int \frac{1}{x - 10}\, dx$

            1. que $u = x - 10$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 10 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $10 \log{\left(x - 10 \right)}$

         El resultado es: $x + 10 \log{\left(x - 10 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x - 10 \log{\left(x - 10 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x - 10 \log{\left(x - 10 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x - 10 \log{\left(x - 10 \right)}+ \mathrm{constant}$