Integral de 5^(5x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x + 2$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{5^{u}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{5}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{5 \log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5^{5 x + 2}}{5 \log{\left(5 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{5 x + 2} = 25 \cdot 5^{5 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 25 \cdot 5^{5 x}\, dx = 25 \int 5^{5 x}\, dx$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{5^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{5}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{5 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5^{5 x}}{5 \log{\left(5 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \cdot 5^{5 x}}{\log{\left(5 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{5 x + 2} = 25 \cdot 5^{5 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 25 \cdot 5^{5 x}\, dx = 25 \int 5^{5 x}\, dx$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{5^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5^{u}\, du = \frac{\int 5^{u}\, du}{5}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5^{u}}{5 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5^{5 x}}{5 \log{\left(5 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \cdot 5^{5 x}}{\log{\left(5 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5^{5 x + 1}}{\log{\left(5 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5^{5 x + 1}}{\log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5^{5 x + 1}}{\log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$