Integral de sin^10xcos^9x dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi                    
 --                    
 2                     
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 |     10       9      
 |  sin  (x)*cos (x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{10}{\left(x \right)} \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(sin(x)^10*cos(x)^9, (x, 0, pi/2))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{10}{\left(x \right)} \cos^{9}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(u^{18} - 4 u^{16} + 6 u^{14} - 4 u^{12} + u^{10}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 u^{16}\right)\, du = - 4 \int u^{16}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{17}}{17}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 6 u^{14}\, du = 6 \int u^{14}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{15}}{5}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 u^{12}\right)\, du = - 4 \int u^{12}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{13}}{13}$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
    El resultado es: $\frac{u^{19}}{19} - \frac{4 u^{17}}{17} + \frac{2 u^{15}}{5} - \frac{4 u^{13}}{13} + \frac{u^{11}}{11}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{4 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} + \frac{2 \sin^{15}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{18}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{16}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 6 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{14}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{15}{\left(x \right)}}{5}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{12}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{10}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
  El resultado es: $\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{4 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} + \frac{2 \sin^{15}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{18}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{16}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 6 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{14}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{15}{\left(x \right)}}{5}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{12}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$
  1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{10}\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
  El resultado es: $\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{4 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} + \frac{2 \sin^{15}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(12155 \sin^{8}{\left(x \right)} - 54340 \sin^{6}{\left(x \right)} + 92378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 71060 \sin^{2}{\left(x \right)} + 20995\right) \sin^{11}{\left(x \right)}}{230945}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(12155 \sin^{8}{\left(x \right)} - 54340 \sin^{6}{\left(x \right)} + 92378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 71060 \sin^{2}{\left(x \right)} + 20995\right) \sin^{11}{\left(x \right)}}{230945}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(12155 \sin^{8}{\left(x \right)} - 54340 \sin^{6}{\left(x \right)} + 92378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 71060 \sin^{2}{\left(x \right)} + 20995\right) \sin^{11}{\left(x \right)}}{230945}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                    
 |                                13           17         11         19           15   
 |    10       9             4*sin  (x)   4*sin  (x)   sin  (x)   sin  (x)   2*sin  (x)
 | sin  (x)*cos (x) dx = C - ---------- - ---------- + -------- + -------- + ----------
 |                               13           17          11         19          5     
/

$$\int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{4 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} + \frac{2 \sin^{15}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

 128  
------
230945

$$\frac{128}{230945}$$

 128  
------
230945

$$\frac{128}{230945}$$

128/230945

Respuesta numérica [src]

0.000554244517092814

0.000554244517092814

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^10xcos^9x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3