Integral de (2x-2)(x^2-2x+4)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} - 2 x\right) + 4$.

      Luego que $du = \left(2 x - 2\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right)^{5}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x - 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right)^{4} = 2 x^{9} - 18 x^{8} + 96 x^{7} - 336 x^{6} + 864 x^{5} - 1632 x^{4} + 2304 x^{3} - 2304 x^{2} + 1536 x - 512$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{9}\, dx = 2 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{10}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 18 x^{8}\right)\, dx = - 18 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 96 x^{7}\, dx = 96 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 336 x^{6}\right)\, dx = - 336 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 48 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 864 x^{5}\, dx = 864 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $144 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1632 x^{4}\right)\, dx = - 1632 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1632 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2304 x^{3}\, dx = 2304 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $576 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2304 x^{2}\right)\, dx = - 2304 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 768 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1536 x\, dx = 1536 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $768 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-512\right)\, dx = - 512 x$

      El resultado es: $\frac{x^{10}}{5} - 2 x^{9} + 12 x^{8} - 48 x^{7} + 144 x^{6} - \frac{1632 x^{5}}{5} + 576 x^{4} - 768 x^{3} + 768 x^{2} - 512 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 2 x + 4\right)^{5}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 2 x + 4\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 2 x + 4\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$