Integral de (1-2x+x^2/2)^2e^-x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{u^{4} e^{u}}{4} - 2 u^{3} e^{u} - 5 u^{2} e^{u} - 4 u e^{u} - e^{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u^{4} e^{u}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{4} e^{u}\, du}{4}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 4 u^{3}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 4 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 12 u^{2}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 12 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            4. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 24 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 24 e^{u}\, du = 24 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $24 e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4} e^{u}}{4} + u^{3} e^{u} - 3 u^{2} e^{u} + 6 u e^{u} - 6 e^{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{3} e^{u}\right)\, du = - 2 \int u^{3} e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{3} e^{u} + 6 u^{2} e^{u} - 12 u e^{u} + 12 e^{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 u^{2} e^{u}\right)\, du = - 5 \int u^{2} e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 5 u^{2} e^{u} + 10 u e^{u} - 10 e^{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u e^{u}\right)\, du = - 4 \int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u e^{u} + 4 e^{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         El resultado es: $- \frac{u^{4} e^{u}}{4} - u^{3} e^{u} - 2 u^{2} e^{u} - e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{4} e^{- x}}{4} + x^{3} e^{- x} - 2 x^{2} e^{- x} - e^{- x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- x} \left(\frac{x^{2}}{2} + \left(1 - 2 x\right)\right)^{2} = \frac{\left(x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4\right) e^{- x}}{4}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4\right) e^{- x}}{4}\, dx = \frac{\int \left(x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4\right) e^{- x}\, dx}{4}$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- u^{4} e^{u} - 8 u^{3} e^{u} - 20 u^{2} e^{u} - 16 u e^{u} - 4 e^{u}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{4} e^{u}\right)\, du = - \int u^{4} e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 4 u^{3}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 4 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 12 u^{2}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 12 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               4. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 24 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 24 e^{u}\, du = 24 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $24 e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{4} e^{u} + 4 u^{3} e^{u} - 12 u^{2} e^{u} + 24 u e^{u} - 24 e^{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 8 u^{3} e^{u}\right)\, du = - 8 \int u^{3} e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 8 u^{3} e^{u} + 24 u^{2} e^{u} - 48 u e^{u} + 48 e^{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 20 u^{2} e^{u}\right)\, du = - 20 \int u^{2} e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 20 u^{2} e^{u} + 40 u e^{u} - 40 e^{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 16 u e^{u}\right)\, du = - 16 \int u e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 16 u e^{u} + 16 e^{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 e^{u}\right)\, du = - 4 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 4 e^{u}$

            El resultado es: $- u^{4} e^{u} - 4 u^{3} e^{u} - 8 u^{2} e^{u} - 4 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} - 8 x^{2} e^{- x} - 4 e^{- x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4} e^{- x}}{4} + x^{3} e^{- x} - 2 x^{2} e^{- x} - e^{- x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- x} \left(\frac{x^{2}}{2} + \left(1 - 2 x\right)\right)^{2} = \frac{x^{4} e^{- x}}{4} - 2 x^{3} e^{- x} + 5 x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + e^{- x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{4} e^{- x}}{4}\, dx = \frac{\int x^{4} e^{- x}\, dx}{4}$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{4} e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4} e^{u}\, du = - \int u^{4} e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 4 u^{3}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 4 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 12 u^{2}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 12 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               4. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 24 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 24 e^{u}\, du = 24 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $24 e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{4} e^{u} + 4 u^{3} e^{u} - 12 u^{2} e^{u} + 24 u e^{u} - 24 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x^{4} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} - 12 x^{2} e^{- x} - 24 x e^{- x} - 24 e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4} e^{- x}}{4} - x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{3} e^{- x}\right)\, dx = - 2 \int x^{3} e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3} e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{3} e^{- x} + 6 x^{2} e^{- x} + 12 x e^{- x} + 12 e^{- x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{2} e^{- x}\, dx = 5 \int x^{2} e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 x^{2} e^{- x} - 10 x e^{- x} - 10 e^{- x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x e^{- x}\right)\, dx = - 4 \int x e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x e^{- x} - e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x e^{- x} + 4 e^{- x}$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- x}$

      El resultado es: $- \frac{x^{4} e^{- x}}{4} + x^{3} e^{- x} - 2 x^{2} e^{- x} - e^{- x}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(- \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2 x^{2} - 1\right) e^{- x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(- \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2 x^{2} - 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(- \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2 x^{2} - 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$