Integral de arctan4x dx
Solución
Solución detallada
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4atan(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫atan(u)du=4∫atan(u)du
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Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(u)=atan(u) y que dv(u)=1.
Entonces du(u)=u2+11.
Para buscar v(u):
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1du=u
Ahora resolvemos podintegral.
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2+1udu=2∫u2+12udu
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que u=u2+1.
Luego que du=2udu y ponemos 2du:
∫2u1du
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Integral u1 es log(u).
Si ahora sustituir u más en:
log(u2+1)
Por lo tanto, el resultado es: 2log(u2+1)
Por lo tanto, el resultado es: 4uatan(u)−8log(u2+1)
Si ahora sustituir u más en:
xatan(4x)−8log(16x2+1)
Método #2
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Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(x)=atan(4x) y que dv(x)=1.
Entonces du(x)=16x2+14.
Para buscar v(x):
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1dx=x
Ahora resolvemos podintegral.
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫16x2+14xdx=4∫16x2+1xdx
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫16x2+1xdx=32∫16x2+132xdx
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que u=16x2+1.
Luego que du=32xdx y ponemos 32du:
∫32u1du
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Integral u1 es log(u).
Si ahora sustituir u más en:
log(16x2+1)
Por lo tanto, el resultado es: 32log(16x2+1)
Por lo tanto, el resultado es: 8log(16x2+1)
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Añadimos la constante de integración:
xatan(4x)−8log(16x2+1)+constant
Respuesta:
xatan(4x)−8log(16x2+1)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / 2\
| log\1 + 16*x /
| atan(4*x) dx = C - -------------- + x*atan(4*x)
| 8
/
∫atan(4x)dx=C+xatan(4x)−8log(16x2+1)
Gráfica
log(17)
- ------- + atan(4)
8
−8log(17)+atan(4)
=
log(17)
- ------- + atan(4)
8
−8log(17)+atan(4)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.