Sr Examen

Integral de arctan4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |  atan(4*x) dx
 |              
/               
0               
01atan(4x)dx\int\limits_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}\, dx
Integral(atan(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

      atan(u)4du\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{4}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        atan(u)du=atan(u)du4\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du}{4}

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=atan(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)} y que dv(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du(u)=1u2+1\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          uu2+1du=2uu2+1du2\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}

          1. que u=u2+1u = u^{2} + 1.

            Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(u2+1)\log{\left(u^{2} + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log(u2+1)2\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: uatan(u)4log(u2+1)8\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{4} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{8}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xatan(4x)log(16x2+1)8x \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} - \frac{\log{\left(16 x^{2} + 1 \right)}}{8}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=atan(4x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du(x)=416x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4}{16 x^{2} + 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      4x16x2+1dx=4x16x2+1dx\int \frac{4 x}{16 x^{2} + 1}\, dx = 4 \int \frac{x}{16 x^{2} + 1}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        x16x2+1dx=32x16x2+1dx32\int \frac{x}{16 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}\, dx}{32}

        1. que u=16x2+1u = 16 x^{2} + 1.

          Luego que du=32xdxdu = 32 x dx y ponemos du32\frac{du}{32}:

          132udu\int \frac{1}{32 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(16x2+1)\log{\left(16 x^{2} + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(16x2+1)32\frac{\log{\left(16 x^{2} + 1 \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: log(16x2+1)8\frac{\log{\left(16 x^{2} + 1 \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xatan(4x)log(16x2+1)8+constantx \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} - \frac{\log{\left(16 x^{2} + 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

xatan(4x)log(16x2+1)8+constantx \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} - \frac{\log{\left(16 x^{2} + 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                      /        2\              
 |                    log\1 + 16*x /              
 | atan(4*x) dx = C - -------------- + x*atan(4*x)
 |                          8                     
/                                                 
atan(4x)dx=C+xatan(4x)log(16x2+1)8\int \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} - \frac{\log{\left(16 x^{2} + 1 \right)}}{8}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Respuesta [src]
  log(17)          
- ------- + atan(4)
     8             
log(17)8+atan(4)- \frac{\log{\left(17 \right)}}{8} + \operatorname{atan}{\left(4 \right)}
=
=
  log(17)          
- ------- + atan(4)
     8             
log(17)8+atan(4)- \frac{\log{\left(17 \right)}}{8} + \operatorname{atan}{\left(4 \right)}
-log(17)/8 + atan(4)
Respuesta numérica [src]
0.971665995661005
0.971665995661005

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.