Integral de cos6xcos2xdx dx
Solución
Solución detallada
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)cos(3u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(3u)cos(u)du=2∫cos(3u)cos(u)du
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Vuelva a escribir el integrando:
cos(3u)cos(u)=4cos4(u)−3cos2(u)
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4cos4(u)du=4∫cos4(u)du
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos4(u)=(2cos(2u)+21)2
-
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
-
Vuelva a escribir el integrando:
(2cos(2u)+21)2=4cos2(2u)+2cos(2u)+41
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Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4cos2(2u)du=4∫cos2(2u)du
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2u)=2cos(4u)+21
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Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4u)du=2∫cos(4u)du
-
que u=4u.
Luego que du=4du y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4u)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4u)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
El resultado es: 2u+8sin(4u)
Por lo tanto, el resultado es: 8u+32sin(4u)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(2u)du=2∫cos(2u)du
-
que u=2u.
Luego que du=2du y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(2u)
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫41du=4u
El resultado es: 83u+4sin(2u)+32sin(4u)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(2cos(2u)+21)2=4cos2(2u)+2cos(2u)+41
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Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4cos2(2u)du=4∫cos2(2u)du
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2u)=2cos(4u)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4u)du=2∫cos(4u)du
-
que u=4u.
Luego que du=4du y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4u)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4u)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
El resultado es: 2u+8sin(4u)
Por lo tanto, el resultado es: 8u+32sin(4u)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(2u)du=2∫cos(2u)du
-
que u=2u.
Luego que du=2du y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(2u)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫41du=4u
El resultado es: 83u+4sin(2u)+32sin(4u)
Por lo tanto, el resultado es: 23u+sin(2u)+8sin(4u)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−3cos2(u))du=−3∫cos2(u)du
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Vuelva a escribir el integrando:
cos2(u)=2cos(2u)+21
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Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(2u)du=2∫cos(2u)du
-
que u=2u.
Luego que du=2du y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(2u)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
El resultado es: 2u+4sin(2u)
Por lo tanto, el resultado es: −23u−43sin(2u)
El resultado es: 4sin(2u)+8sin(4u)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(2u)+16sin(4u)
Si ahora sustituir u más en:
8sin(4x)+16sin(8x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
cos(2x)cos(6x)=64cos8(x)−128cos6(x)+84cos4(x)−20cos2(x)+1
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Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫64cos8(x)dx=64∫cos8(x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos8(x)=(2cos(2x)+21)4
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Vuelva a escribir el integrando:
(2cos(2x)+21)4=16cos4(2x)+4cos3(2x)+83cos2(2x)+4cos(2x)+161
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫16cos4(2x)dx=16∫cos4(2x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos4(2x)=(2cos(4x)+21)2
-
Vuelva a escribir el integrando:
(2cos(4x)+21)2=4cos2(4x)+2cos(4x)+41
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4cos2(4x)dx=4∫cos2(4x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(4x)=2cos(8x)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(8x)dx=2∫cos(8x)dx
-
que u=8x.
Luego que du=8dx y ponemos 8du:
∫8cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=8∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
8sin(8x)
Por lo tanto, el resultado es: 16sin(8x)
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+16sin(8x)
Por lo tanto, el resultado es: 8x+64sin(8x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4x)dx=2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫41dx=4x
El resultado es: 83x+8sin(4x)+64sin(8x)
Por lo tanto, el resultado es: 1283x+128sin(4x)+1024sin(8x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4cos3(2x)dx=4∫cos3(2x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos3(2x)=(1−sin2(2x))cos(2x)
-
que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos du:
∫(21−2u2)du
-
Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2u2)du=−2∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −6u3
El resultado es: −6u3+2u
Si ahora sustituir u más en:
−6sin3(2x)+2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −24sin3(2x)+8sin(2x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫83cos2(2x)dx=83∫cos2(2x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2x)=2cos(4x)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4x)dx=2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+8sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 163x+643sin(4x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4cos(2x)dx=4∫cos(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(2x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫161dx=16x
El resultado es: 12835x−24sin3(2x)+4sin(2x)+1287sin(4x)+1024sin(8x)
Por lo tanto, el resultado es: 235x−38sin3(2x)+16sin(2x)+27sin(4x)+16sin(8x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−128cos6(x))dx=−128∫cos6(x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos6(x)=(2cos(2x)+21)3
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Vuelva a escribir el integrando:
(2cos(2x)+21)3=8cos3(2x)+83cos2(2x)+83cos(2x)+81
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫8cos3(2x)dx=8∫cos3(2x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos3(2x)=(1−sin2(2x))cos(2x)
-
que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos du:
∫(21−2u2)du
-
Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2u2)du=−2∫u2du
-
Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: −6u3
El resultado es: −6u3+2u
Si ahora sustituir u más en:
−6sin3(2x)+2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −48sin3(2x)+16sin(2x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫83cos2(2x)dx=83∫cos2(2x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2x)=2cos(4x)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4x)dx=2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+8sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 163x+643sin(4x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫83cos(2x)dx=83∫cos(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 163sin(2x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫81dx=8x
El resultado es: 165x−48sin3(2x)+4sin(2x)+643sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: −40x+38sin3(2x)−32sin(2x)−6sin(4x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫84cos4(x)dx=84∫cos4(x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos4(x)=(2cos(2x)+21)2
-
Vuelva a escribir el integrando:
(2cos(2x)+21)2=4cos2(2x)+2cos(2x)+41
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫4cos2(2x)dx=4∫cos2(2x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(2x)=2cos(4x)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(4x)dx=2∫cos(4x)dx
-
que u=4x.
Luego que du=4dx y ponemos 4du:
∫4cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=4∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
4sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8sin(4x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+8sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 8x+32sin(4x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(2x)dx=2∫cos(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(2x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫41dx=4x
El resultado es: 83x+4sin(2x)+32sin(4x)
Por lo tanto, el resultado es: 263x+21sin(2x)+821sin(4x)
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−20cos2(x))dx=−20∫cos2(x)dx
-
Vuelva a escribir el integrando:
cos2(x)=2cos(2x)+21
-
Integramos término a término:
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(2x)dx=2∫cos(2x)dx
-
que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
-
La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: 4sin(2x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21dx=2x
El resultado es: 2x+4sin(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −10x−5sin(2x)
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1dx=x
El resultado es: 8sin(4x)+16sin(8x)
-
Añadimos la constante de integración:
8sin(4x)+16sin(8x)+constant
Respuesta:
8sin(4x)+16sin(8x)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| sin(4*x) sin(8*x)
| cos(6*x)*cos(2*x) dx = C + -------- + --------
| 8 16
/
∫cos(2x)cos(6x)dx=C+8sin(4x)+16sin(8x)
Gráfica
cos(6)*sin(2) 3*cos(2)*sin(6)
- ------------- + ---------------
16 16
−16sin(2)cos(6)+163sin(6)cos(2)
=
cos(6)*sin(2) 3*cos(2)*sin(6)
- ------------- + ---------------
16 16
−16sin(2)cos(6)+163sin(6)cos(2)
-cos(6)*sin(2)/16 + 3*cos(2)*sin(6)/16
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.