Sr Examen

Integral de cos6xcos2xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  cos(6*x)*cos(2*x) dx
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0                       
01cos(2x)cos(6x)dx\int\limits_{0}^{1} \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx
Integral(cos(6*x)*cos(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      cos(u)cos(3u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)} \cos{\left(3 u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        cos(3u)cos(u)du=cos(3u)cos(u)du2\int \cos{\left(3 u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(3 u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos(3u)cos(u)=4cos4(u)3cos2(u)\cos{\left(3 u \right)} \cos{\left(u \right)} = 4 \cos^{4}{\left(u \right)} - 3 \cos^{2}{\left(u \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            4cos4(u)du=4cos4(u)du\int 4 \cos^{4}{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos^{4}{\left(u \right)}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos4(u)=(cos(2u)2+12)2\cos^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

            2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (cos(2u)2+12)2=cos2(2u)4+cos(2u)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  cos2(2u)4du=cos2(2u)du4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                    cos2(2u)=cos(4u)2+12\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                  2. Integramos término a término:

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      cos(4u)2du=cos(4u)du2\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}

                      1. que u=4uu = 4 u.

                        Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

                        cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                          cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                          1. La integral del coseno es seno:

                            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                          Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                        Si ahora sustituir uu más en:

                        sin(4u)4\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin(4u)8\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                      12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                    El resultado es: u2+sin(4u)8\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                  Por lo tanto, el resultado es: u8+sin(4u)32\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  cos(2u)2du=cos(2u)du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                  1. que u=2uu = 2 u.

                    Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  14du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

                El resultado es: 3u8+sin(2u)4+sin(4u)32\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (cos(2u)2+12)2=cos2(2u)4+cos(2u)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  cos2(2u)4du=cos2(2u)du4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                    cos2(2u)=cos(4u)2+12\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                  2. Integramos término a término:

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      cos(4u)2du=cos(4u)du2\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}

                      1. que u=4uu = 4 u.

                        Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

                        cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                          cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                          1. La integral del coseno es seno:

                            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                          Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                        Si ahora sustituir uu más en:

                        sin(4u)4\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin(4u)8\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                      12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                    El resultado es: u2+sin(4u)8\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

                  Por lo tanto, el resultado es: u8+sin(4u)32\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  cos(2u)2du=cos(2u)du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                  1. que u=2uu = 2 u.

                    Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  14du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

                El resultado es: 3u8+sin(2u)4+sin(4u)32\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}

            Por lo tanto, el resultado es: 3u2+sin(2u)+sin(4u)8\frac{3 u}{2} + \sin{\left(2 u \right)} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (3cos2(u))du=3cos2(u)du\int \left(- 3 \cos^{2}{\left(u \right)}\right)\, du = - 3 \int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(u)=cos(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(2u)2du=cos(2u)du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              El resultado es: u2+sin(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: 3u23sin(2u)4- \frac{3 u}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 u \right)}}{4}

          El resultado es: sin(2u)4+sin(4u)8\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: sin(2u)8+sin(4u)16\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{16}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin(4x)8+sin(8x)16\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos(2x)cos(6x)=64cos8(x)128cos6(x)+84cos4(x)20cos2(x)+1\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} = 64 \cos^{8}{\left(x \right)} - 128 \cos^{6}{\left(x \right)} + 84 \cos^{4}{\left(x \right)} - 20 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        64cos8(x)dx=64cos8(x)dx\int 64 \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx = 64 \int \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos8(x)=(cos(2x)2+12)4\cos^{8}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos(2x)2+12)4=cos4(2x)16+cos3(2x)4+3cos2(2x)8+cos(2x)4+116\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos4(2x)16dx=cos4(2x)dx16\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos4(2x)=(cos(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

            2. Vuelva a escribir el integrando:

              (cos(4x)2+12)2=cos2(4x)4+cos(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

            3. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos2(4x)4dx=cos2(4x)dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos2(4x)=cos(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(8x)2dx=cos(8x)dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                    1. que u=8xu = 8 x.

                      Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                      cos(u)8du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        cos(u)du=cos(u)du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                  El resultado es: x2+sin(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

                Por lo tanto, el resultado es: x8+sin(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

              El resultado es: 3x8+sin(4x)8+sin(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x128+sin(4x)128+sin(8x)1024\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos3(2x)4dx=cos3(2x)dx4\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos3(2x)=(1sin2(2x))cos(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

            2. que u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

              Luego que du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

              (12u22)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

              1. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  (u22)du=u2du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u36- \frac{u^{3}}{6}

                El resultado es: u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin3(2x)6+sin(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin3(2x)24+sin(2x)8- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            3cos2(2x)8dx=3cos2(2x)dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos(2x)4dx=cos(2x)dx4\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)8\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            116dx=x16\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}

          El resultado es: 35x128sin3(2x)24+sin(2x)4+7sin(4x)128+sin(8x)1024\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}

        Por lo tanto, el resultado es: 35x28sin3(2x)3+16sin(2x)+7sin(4x)2+sin(8x)16\frac{35 x}{2} - \frac{8 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + 16 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (128cos6(x))dx=128cos6(x)dx\int \left(- 128 \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos6(x)=(cos(2x)2+12)3\cos^{6}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos(2x)2+12)3=cos3(2x)8+3cos2(2x)8+3cos(2x)8+18\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos3(2x)8dx=cos3(2x)dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos3(2x)=(1sin2(2x))cos(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

            2. que u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

              Luego que du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

              (12u22)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

              1. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  (u22)du=u2du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                    u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u36- \frac{u^{3}}{6}

                El resultado es: u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin3(2x)6+sin(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin3(2x)48+sin(2x)16- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            3cos2(2x)8dx=3cos2(2x)dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: 3x16+3sin(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            3cos(2x)8dx=3cos(2x)dx8\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 3sin(2x)16\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            18dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

          El resultado es: 5x16sin3(2x)48+sin(2x)4+3sin(4x)64\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: 40x+8sin3(2x)332sin(2x)6sin(4x)- 40 x + \frac{8 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 32 \sin{\left(2 x \right)} - 6 \sin{\left(4 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        84cos4(x)dx=84cos4(x)dx\int 84 \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 84 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos4(x)=(cos(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos(2x)2+12)2=cos2(2x)4+cos(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos2(2x)4dx=cos2(2x)dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin(2x)4+sin(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: 63x2+21sin(2x)+21sin(4x)8\frac{63 x}{2} + 21 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{21 \sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (20cos2(x))dx=20cos2(x)dx\int \left(- 20 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos2(x)=cos(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 10x5sin(2x)- 10 x - 5 \sin{\left(2 x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: sin(4x)8+sin(8x)16\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin(4x)8+sin(8x)16+constant\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

sin(4x)8+sin(8x)16+constant\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                              
 |                            sin(4*x)   sin(8*x)
 | cos(6*x)*cos(2*x) dx = C + -------- + --------
 |                               8          16   
/                                                
cos(2x)cos(6x)dx=C+sin(4x)8+sin(8x)16\int \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Respuesta [src]
  cos(6)*sin(2)   3*cos(2)*sin(6)
- ------------- + ---------------
        16               16      
sin(2)cos(6)16+3sin(6)cos(2)16- \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{16} + \frac{3 \sin{\left(6 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{16}
=
=
  cos(6)*sin(2)   3*cos(2)*sin(6)
- ------------- + ---------------
        16               16      
sin(2)cos(6)16+3sin(6)cos(2)16- \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{16} + \frac{3 \sin{\left(6 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{16}
-cos(6)*sin(2)/16 + 3*cos(2)*sin(6)/16
Respuesta numérica [src]
-0.0327654214995297
-0.0327654214995297

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.