Integral de (5*x^3-x)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{5 u^{2} - 1}{u}\, du$

      1. que $u = 5 u^{2}$.

         Luego que $du = 10 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u - 1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(5 u^{2} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(5 x^{2} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x^{3} - x}{x^{2}} = 5 x - \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x\, dx = 5 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{5 x^{2}}{2} - \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x^{3} - x}{x^{2}} = \frac{5 x^{2} - 1}{x}$

   2. que $u = 5 x^{2}$.

      Luego que $du = 10 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u - 1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(5 x^{2} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(5 x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(5 x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$