Sr Examen

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Integral de tsin(t/2) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 2*pi           
   /            
  |             
  |       /t\   
  |  t*sin|-| dt
  |       \2/   
  |             
 /              
 0              
02πtsin(t2)dt\int\limits_{0}^{2 \pi} t \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt
Integral(t*sin(t/2), (t, 0, 2*pi))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(t)=tu{\left(t \right)} = t y que dv(t)=sin(t2)\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}.

    Entonces du(t)=1\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1.

    Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

    1. que u=t2u = \frac{t}{2}.

      Luego que du=dt2du = \frac{dt}{2} y ponemos 2du2 du:

      2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2cos(t2)- 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    (2cos(t2))dt=2cos(t2)dt\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)\, dt = - 2 \int \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt

    1. que u=t2u = \frac{t}{2}.

      Luego que du=dt2du = \frac{dt}{2} y ponemos 2du2 du:

      2cos(u)du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        cos(u)du=2cos(u)du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del coseno es seno:

          cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)2 \sin{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2sin(t2)2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: 4sin(t2)- 4 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2tcos(t2)+4sin(t2)+constant- 2 t \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2tcos(t2)+4sin(t2)+constant- 2 t \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                       
 |                                        
 |      /t\               /t\          /t\
 | t*sin|-| dt = C + 4*sin|-| - 2*t*cos|-|
 |      \2/               \2/          \2/
 |                                        
/                                         
tsin(t2)dt=C2tcos(t2)+4sin(t2)\int t \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt = C - 2 t \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0020
Respuesta [src]
4*pi
4π4 \pi
=
=
4*pi
4π4 \pi
4*pi
Respuesta numérica [src]
12.5663706143592
12.5663706143592

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.