Integral de x(1-x)^10 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(1 - x\right)^{10} = x^{11} - 10 x^{10} + 45 x^{9} - 120 x^{8} + 210 x^{7} - 252 x^{6} + 210 x^{5} - 120 x^{4} + 45 x^{3} - 10 x^{2} + x$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 10 x^{10}\right)\, dx = - 10 \int x^{10}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 x^{11}}{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 45 x^{9}\, dx = 45 \int x^{9}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{10}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 120 x^{8}\right)\, dx = - 120 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{40 x^{9}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 210 x^{7}\, dx = 210 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{105 x^{8}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 252 x^{6}\right)\, dx = - 252 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 36 x^{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 210 x^{5}\, dx = 210 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $35 x^{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 120 x^{4}\right)\, dx = - 120 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 24 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 45 x^{3}\, dx = 45 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{45 x^{4}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 10 x^{2}\right)\, dx = - 10 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 x^{3}}{3}$

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{12}}{12} - \frac{10 x^{11}}{11} + \frac{9 x^{10}}{2} - \frac{40 x^{9}}{3} + \frac{105 x^{8}}{4} - 36 x^{7} + 35 x^{6} - 24 x^{5} + \frac{45 x^{4}}{4} - \frac{10 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)}{132}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)}{132}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)}{132}+ \mathrm{constant}$