Integral de x^7lnx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{8 u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{8 u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = 8 u$.

            Luego que $du = 8 du$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{e^{u}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{8 u}}{8}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{8 u}}{8}\, du = \frac{\int e^{8 u}\, du}{8}$

         1. que $u = 8 u$.

            Luego que $du = 8 du$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{e^{u}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{8 u}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{8 u}}{64}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{8} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{x^{8}}{64}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{7}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{7}}{8}\, dx = \frac{\int x^{7}\, dx}{8}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{8}}{64}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{8} \left(8 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{64}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{8} \left(8 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{64}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{8} \left(8 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{64}+ \mathrm{constant}$