Integral de [(x^6+2)^5]*(6x^5)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{6} + 2$.

      Luego que $du = 6 x^{5} dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{6} + 2\right)^{6}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $6 x^{5} \left(x^{6} + 2\right)^{5} = 6 x^{35} + 60 x^{29} + 240 x^{23} + 480 x^{17} + 480 x^{11} + 192 x^{5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{35}\, dx = 6 \int x^{35}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{35}\, dx = \frac{x^{36}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{36}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 60 x^{29}\, dx = 60 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{30}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 240 x^{23}\, dx = 240 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 480 x^{17}\, dx = 480 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{80 x^{18}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 480 x^{11}\, dx = 480 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $40 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 192 x^{5}\, dx = 192 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32 x^{6}$

      El resultado es: $\frac{x^{36}}{6} + 2 x^{30} + 10 x^{24} + \frac{80 x^{18}}{3} + 40 x^{12} + 32 x^{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{6} + 2\right)^{6}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{6} + 2\right)^{6}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{6} + 2\right)^{6}}{6}+ \mathrm{constant}$