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Resolución de integrales/ cos^5/ cos^3/ cos^3(x)-cos^5(x)

Integral de cos^3(x)-cos^5(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  /   3         5   \   
 |  \cos (x) - cos (x)/ dx
 |                        
/                         
0
∫01(−cos⁡5(x)+cos⁡3(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(cos(x)^3 - cos(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡5(x)) dx=−∫cos⁡5(x) dx\int \left(- \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡5(x)=(1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          El resultado es: sin⁡5(x)5−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          El resultado es: sin⁡5(x)5−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(x)5+2sin⁡3(x)3−sin⁡(x)- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \sin{\left(x \right)}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}

    2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

      Si ahora sustituir uu más en:

      −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

    El resultado es: −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3+constant- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3+constant- \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                 5         3   
 | /   3         5   \          sin (x)   sin (x)
 | \cos (x) - cos (x)/ dx = C - ------- + -------
 |                                 5         3   
/
∫(−cos⁡5(x)+cos⁡3(x)) dx=C−sin⁡5(x)5+sin⁡3(x)3\int \left(- \cos^{5}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = C - \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     5         3   
  sin (1)   sin (1)
- ------- + -------
     5         3
−sin⁡5(1)5+sin⁡3(1)3- \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} 
=
= 
     5         3   
  sin (1)   sin (1)
- ------- + -------
     5         3
−sin⁡5(1)5+sin⁡3(1)3- \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} 
-sin(1)^5/5 + sin(1)^3/3
Respuesta numérica [src] 
0.114230426366362
0.114230426366362

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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