Integral de ln(s)(ln(x)-1)*s*x ds

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int x s \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(s \right)}\, ds = x \int s \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(s \right)}\, ds$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int s \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(s \right)}\, ds = \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \int s \log{\left(s \right)}\, ds$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \log{\left(s \right)}$.

            Luego que $du = \frac{ds}{s}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{s^{2} \log{\left(s \right)}}{2} - \frac{s^{2}}{4}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(s \right)} = \log{\left(s \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(s \right)} = s$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(s \right)} = \frac{1}{s}$.

            Para buscar $v{\left(s \right)}$:

            1. Integral $s^{n}$ es $\frac{s^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int s\, ds = \frac{s^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{s}{2}\, ds = \frac{\int s\, ds}{2}$

            1. Integral $s^{n}$ es $\frac{s^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int s\, ds = \frac{s^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{s^{2}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(\frac{s^{2} \log{\left(s \right)}}{2} - \frac{s^{2}}{4}\right) \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)$

   Por lo tanto, el resultado es: $x \left(\frac{s^{2} \log{\left(s \right)}}{2} - \frac{s^{2}}{4}\right) \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{s^{2} x \left(2 \log{\left(s \right)} - 1\right) \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{s^{2} x \left(2 \log{\left(s \right)} - 1\right) \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{s^{2} x \left(2 \log{\left(s \right)} - 1\right) \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$