Sr Examen

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Integral de sen^4xcos^5x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  sin (x)*cos (x) dx
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00sin4(x)cos5(x)dx\int\limits_{0}^{0} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx
Integral(sin(x)^4*cos(x)^5, (x, 0, 0))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin4(x)cos5(x)=(1sin2(x))2sin4(x)cos(x)\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      (u82u6+u4)du\int \left(u^{8} - 2 u^{6} + u^{4}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2u6)du=2u6du\int \left(- 2 u^{6}\right)\, du = - 2 \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u77- \frac{2 u^{7}}{7}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        El resultado es: u992u77+u55\frac{u^{9}}{9} - \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin9(x)92sin7(x)7+sin5(x)5\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(x))2sin4(x)cos(x)=sin8(x)cos(x)2sin6(x)cos(x)+sin4(x)cos(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u8du\int u^{8}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin6(x)cos(x))dx=2sin6(x)cos(x)dx\int \left(- 2 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u6du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin7(x)7- \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u4du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: sin9(x)92sin7(x)7+sin5(x)5\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(x))2sin4(x)cos(x)=sin8(x)cos(x)2sin6(x)cos(x)+sin4(x)cos(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u8du\int u^{8}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin6(x)cos(x))dx=2sin6(x)cos(x)dx\int \left(- 2 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u6du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin7(x)7- \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u4du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: sin9(x)92sin7(x)7+sin5(x)5\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

  3. Ahora simplificar:

    (35sin4(x)90sin2(x)+63)sin5(x)315\frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} - 90 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{315}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (35sin4(x)90sin2(x)+63)sin5(x)315+constant\frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} - 90 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

(35sin4(x)90sin2(x)+63)sin5(x)315+constant\frac{\left(35 \sin^{4}{\left(x \right)} - 90 \sin^{2}{\left(x \right)} + 63\right) \sin^{5}{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |    4       5             2*sin (x)   sin (x)   sin (x)
 | sin (x)*cos (x) dx = C - --------- + ------- + -------
 |                              7          5         9   
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sin4(x)cos5(x)dx=C+sin9(x)92sin7(x)7+sin5(x)5\int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001
Respuesta [src]
0
00
=
=
0
00
0
Respuesta numérica [src]
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.