Integral de (x^2+3)(4-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- u^{3} - 4 u^{2} - 3 u - 12\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u^{2}\right)\, du = - 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-12\right)\, du = - 12 u$

         El resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} - \frac{4 u^{3}}{3} - \frac{3 u^{2}}{2} - 12 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 12 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 - x\right) \left(x^{2} + 3\right) = - x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 12$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 12\, dx = 12 x$

      El resultado es: $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 12 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(- 3 x^{3} + 16 x^{2} - 18 x + 144\right)}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(- 3 x^{3} + 16 x^{2} - 18 x + 144\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- 3 x^{3} + 16 x^{2} - 18 x + 144\right)}{12}+ \mathrm{constant}$